借助導(dǎo)數(shù)破解含參不等式問題

湖北省松滋市第一中學(xué)(434200) 王 波

近些年來，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決含參數(shù)不等式的證明在高考及各大模擬考試中頻繁出現(xiàn)，已經(jīng)成為了一個(gè)熱點(diǎn).下面通過一道試題的解答，梳理這類問題的破解策略，供大家參考.

例1 (2020年5 月湖北省七市州高三聯(lián)考文科第21 題)已知函數(shù)f(x)=aex(a ∈R)，g(x)=

(1)當(dāng)a=時(shí)，求函數(shù)y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程;

(2)當(dāng)a≥時(shí)，證明:f(x)-g(x)≥0.

試題考查了導(dǎo)數(shù)公式、求導(dǎo)法則、函數(shù)切線方程求解以及含參數(shù)不等式的證明，考查了學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng).試題平中見奇，解法多樣，內(nèi)涵豐富，是一道研究性學(xué)習(xí)的好題.下面重點(diǎn)談一下第二問的證法.

證法1(構(gòu)造函數(shù)利用最值證不等式) 要證f(x)- g(x) ≥0，即即證axex -lnx - x≥ 0.令F(x)=axex -lnx - x(x ＞0)，F(xiàn)′(x)=令φ(x)=axex-1，φ′(x)=aex(x+1)，a≥，x ＞0，故φ′(x)＞0，即φ(x) 在(0,+∞) 是增函數(shù).當(dāng)x →0，φ(x)→-1; 當(dāng)x →+∞，φ(x)→+∞，故存在唯一x0∈(0,+∞)使得φ(x0)=0，即ax0ex0-1=0.而當(dāng)x ＞x0時(shí)，F(xiàn)′(x)＞0;當(dāng)0＜x ＜x0時(shí)，F(xiàn)′(x)＜0，故F(x)在(0,x0)遞減，在(x0,+∞)上遞增.所以

又a≥則1+lna≥0，所以F(x) ≥F(x)mⅰn≥0，從而f(x)-g(x)≥0.

點(diǎn)評(píng)運(yùn)用函數(shù)的思想證不等式的常規(guī)思路是直接構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)的最值進(jìn)行證明.證法1 中為了后面運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的簡(jiǎn)便，兩邊同時(shí)乘上了x，再構(gòu)造函數(shù)研究最值證明，這是處理不等式證明常用技巧，值得學(xué)習(xí).證法1 中還運(yùn)用了“虛設(shè)零點(diǎn)，整體代換”的技巧，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的思想.

變式1(2015年高考全國(guó)Ⅰ卷文科第21 題) 設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-alnx.

(1) 略;(2) 求證: 當(dāng)a ＞0 時(shí)，f(x)≥2a+

證 明f′(x)=易 知f′(x) 在(0,+∞) 上遞增.當(dāng)x →0，f′(x)→-∞; 當(dāng)x →+∞，f′(x)→+∞，故存在唯一x0∈(0,+∞)使得f′(x0)=0，即2e2x0-=0.即兩邊取對(duì)數(shù)得-2x0.而當(dāng)x ＞x0時(shí)，f′(x)＞0;當(dāng)0＜x ＜x0時(shí)，f′(x)＜0，故f(x)在(0,x0)遞減，在(x0,+∞)上遞增.所以

證法2(參變分離證明不等式)要證f(x)-g(x) ≥0，即即證

令ω(x)=-lnx-x+1，易知ω(x)在(0,+∞)遞減且ω(1)=0，則當(dāng)0＜x ＜1 時(shí)，φ′(x)＞0，當(dāng)x ＞1時(shí)，φ′(x)＜0.故φ(x)在(0,1)遞增，在(1,+∞)遞減，所以φ(x)max=φ(1)=即所以即f(x)-g(x)≥0.

點(diǎn)評(píng)分離參數(shù)法是處……