認識函數(shù)不等式ex≥x+1

云南省玉溪第一中學(653100) 武增明

1 初識函數(shù)不等式ex ≥x+1(x ∈R)

人教版高中數(shù)學課本選修2-2 第32 頁習題B 組有一道習題: 利用函數(shù)的單調(diào)性，證明不等式ex ＞1+x,x /=0，并通過函數(shù)圖象直觀驗證.[1]

2 再識函數(shù)不等式ex ≥x+1(x ∈R)

2.1 切線背景

圖1

不難證明，函數(shù)y=ex在x=0 處的切線方程為y=x+1，如圖1 所示.觀察圖象可知，函數(shù)y=ex的圖象總是在切線y=x+1 的上方，所以從圖1 中可以抽象出不等式ex≥x+1，當且僅當x=0 時等號成立.

2.2 函數(shù)背景

構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex-x-1，通過求導，可證明f(x)≥0，即ex≥x+1(x ∈R).

2.3 函數(shù)不等式ex ≥x+1(x ∈R)的變形

函數(shù)不等式ex≥x+1(x ∈R)很容易衍生出十分豐富、十分優(yōu)美、十分簡潔的不等式，這些不等式在高考函數(shù)不等式和數(shù)列不等式證明中有廣泛運用.同時，每一個不等式都有強大的放縮功能作用.

為了便于理解、記憶，下面以思維導圖的形式給出函數(shù)不等式ex≥x+1(x ∈R)的變形不等式.根據(jù)解題需要，可以把上述不等式中的x換成如n，n+1，等.

3 函數(shù)不等式ex ≥x+1(x ∈R)及其變形的運用[2]

函數(shù)不等式ex≥x+1(x ∈R)的賦值功能非常強大，如果對函數(shù)不等式ex≥x+1(x ∈R)及其各種變形中的x進行不同的賦值，可使許多看似棘手的不等式問題得到解決.

例1(2014年高考全國Ⅰ卷理科第21 題) 設(shè)函數(shù)曲線y=f(x) 在點(1,f(1)) 處的切線為y=e(x-1)+2.

(1)求a，b的值;

(2)求證:f(x)＞1.

分析(1) 解得a=1，b=2，過程從略.(2) 由(1)得f(x)=exlnx+，從而f(x)＞1等價于我們熟悉不等式ex≥x+1，所以ex-1≥x，即ex≥ex，整理有

再由ex-1≥x，得，即兩邊取以e 為底的對數(shù)，即整理得

例2(2011年高考湖北卷理科第21 題) 若ak,bk ＞0(k=1,2,··· ,n)，a1· b1+a2· b2+···+an · bn≤b1+b2+···+bn.

分析lnx≤x-1，令x=ak,bklnak ＜bk(ak-1)(k=1,2,··· ,n)，

b1lna1+b2lna2+···+bnlnan

＜a1b1+a2b2+···+anbn-(b1+b2+···+bn)≤0

例3(2014年高考陜西卷理科第21 題) 設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1 +x)，g(x)=xf′(x)，x≥0，其中f′(x) 是f(x)的導函數(shù).

(1) 令g1(x)=g(x)，gn+1(x)=g(gn(x))，n ∈N+，求gn(x)的表達式;

(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍;

(3)設(shè)n ∈N+，比較g(1)+g(2)+···+g(n)與n-f(n)的大小，并加以證明.

分析(3)實際上就是要比較與……