數學教學要講道理

沈俊

【關鍵詞】數學教學;公頃;平方百米;經驗斷層;講道理

筆者在教學實踐和教學觀察中發現，學習大面積單位“公頃”，教師有“癢”點，學生有“痛”處。教師的“癢”在于：在室內講，學生沒有真實體驗，想象無法打開，不能體會公頃之“大”;到室外上，教師扯破嗓子組織活動，學生卻“打醬油”般走過場，練習時錯例層出不窮。學生的“痛”在于：好不容易記住相鄰兩個面積單位之間的進率是100，“公頃”卻來添堵，憑什么它和平方米的進率就得是10000？難記又難算！隔了一段時間，“公頃”已縹緲天外，毫無印象。追根溯源，是新知識“公頃”與經驗中的面積單位有了隔閡，“相鄰兩個面積單位間的進率是100”無法遷移至新的學習情境中，知識的跳躍使理解產生了斷層。因此，筆者認為，在教學中，教師應體認學生學習的痛癢，精心設計教學，重構教學流程，適時提供支架和扶手，修補好斷裂的知識鏈，讓“公頃”講點道理，使學習順理成章。

【案例回放】

[片段1]并不突兀，“十米”“百米”已在用教師在黑板上畫一條長10厘米的線段。

師：這條線段有多長？

生：10厘米、1分米。

師（板書厘米、分米）：都可以嗎？為什么？

生：都可以，因為1分米=10厘米。

師：我們學過哪些長度單位？你能從小到大有順序地說一說嗎？

生：毫米、厘米、分米、米、千米。

師：相鄰兩個長度單位之間的進率有什么特點？

生1：都是10。

生2：除了米和千米的進率是1000，其余都是10。

師：毫米、厘米、分米和米，每兩個相鄰單位間的進率都是10。可是，“米”后面緊接著就是“千米”，進率也變成了1000。難道“米”和“千米”之間就沒有其他長度單位了嗎？

生1：“千米”前面也可以有“百米”，如“百米飛人大戰”，跑道一圈是400米，只不過不常用。教師在千米前板書“百米”，說明400米=4百米。

生2：對！我們也進行50米賽跑和60米迎面接力，也可以有“十米”這個單位。

教師在“百米”前板書“十米”。

師：如此看來，長度單位就齊全了，“千米”也就不再孤單了。那么，生活中和數學中為什么不經常使用“十米”與“百米”呢？

生：米和千米已經夠用，沒必要創造那么多單位。

生活中處處可見“十進制”，每兩個相鄰長度單位間的進率是10，顯得順理成章。以毫米、厘米、分米、米為單位度量的現象在生活中也時常發生，學生積累了不少相關活動經驗和度量認知。千米雖是較大的長度單位，但與米的聯結并未斷裂，因為從字面上看1千米就等于1000米。教師通過設問“難道‘米和‘千米之間就沒有其他長度單位了嗎”，引發學生聯系生活，順勢補充了“十米”和“百米”這兩個長度單位，為進一步研究面積單位的進率奠定了基礎。

[片段2]借助直觀，喚醒進率表象

師：誰能有條理地說一說，我們已經學過哪些面積單位？

生：平方厘米、平方分米和平方米。

師：1平方厘米的面積有多大？

生：1平方厘米有大拇指的指甲蓋那么大;邊長1厘米的正方形，面積是1平方厘米。

師：1平方分米和1平方米呢？

…………

師：誰能解釋一下，為什么兩個相鄰面積單位之間的進率不是10而是100呢？

生1：以平方分米和平方厘米的進率為例，在邊長1分米的正方形的邊上可以擺10個1平方厘米的小正方形，像這樣可以擺10排，就是100個小正方形。所以，1平方分米=100平方厘米。

教師課件演示上述過程。

生2：我們也可以用計算來說明。邊長1分米的正方形面積是1×1=1（平方分米）;也可以把1分米化成10厘米，10×10=100（平方厘米）。所以，1平方分米=100平方厘米。

生3：長度單位是一維空間的問題，是一條線;面積單位是二維空間的問題，是一個面。

師：這個說法很值得大家揣摩揣摩啊！

蘇教版三下編排了認識面積單位平方厘米、平方分米和平方米的內容，學生知道了兩個相鄰面積單位之間的進率是100，到五上才編排認識大面積單位“公頃”和“平方千米”，間隔時間長，記憶鏈容易斷，且常常與長度單位的進率混淆。如何將新知與舊知進行意義對接，這是一個值得思考和揣摩的問題。人的記憶大都是以圖像或符號的形式存儲的，適當的情境或刺激能促進記憶提取。上述教學中，教師首先引導學生對接生活原型，喚醒面積單位大小的表象，明確面積單位表示大小而非長短。接著借助數形結合和計算說理，明確兩個相鄰面積單位的進率是100 而非10 的內在原因。進而使學生對原有面積單位有了結構上的認知，為“創造”新的面積單位做好了孕伏。

[片段3]“平方百米”，原是順藤摸瓜

師：順著這個思路，如果今天要學習一個更大的面積單位，可能是什么？

生：平方十米。

師：有道理嗎？1平方十米有多大？可以推理出來嗎？

生1：邊長是10米的正方形，面積是1平方十米，也就是100平方米。

生2：10×10=100，1平方十米=100平方米。

師：1平方十米就是100平方米，比我們的教室多出約20平方米。有感覺了嗎？順勢推理，再學一個更大的面積單位自然就是——

生：平方百米。邊長100米的正方形面積是1平方百米。

師：平方百米與平方十米、平方米有什么關系？你能說說其中的道理嗎？

生1：正好往下順推，1平方百米=100平方十米。

生2：1平方百米=100×100=10000平方米。

生3：老師，我發現書上沒有“平方百米”這個單位，但我看到1公頃=10000平方米，“平方百米”和“公頃”是不是一回事？

師：是的，1公頃就可以看作1平方百米。你們喜歡“平方百米”還是“公頃”？如果再學一個更大的面積單位呢？

有了前面的序曲和孕伏，學生“創造”一個新的、較大的面積單位已是水到渠成的事情。“米”后面可以有“十米”“百米”“千米”，“平方米”后面自然可以是“平方十米”“平方百米”“平方千米”，教學順勢而為就好。數學邏輯的藤蔓已然在手，摸到一個大西瓜自是順理成章。數學，原來就很講道理，只不過有時被人為地掐斷，有時未能被好好地發掘。如此這般，“公頃”也變得講道理了，兩個相鄰面積單位之間的進率一直是100，公頃和平方米之間的進率之所以變成了10000，是因為它們之間隔了一個“平方十米”。于是，更大的面積單位“平方千米”也呼之欲出了。

【教后有感】

數學是講道理的，其全部魅力在于思考。教師需要設計教學，使學生在符合邏輯的情境中經歷過程、改造經驗、感悟思想、培育情感。

1.體認痛癢，修補經驗斷層。

心理學家奧蘇伯爾曾指出，“假如讓我把全部教育心理學僅僅歸結為一條原理的話，那么，我將一言以蔽之曰：影響學習的唯一最重要的因素，就是學習者已經知道了什么。要探明這一點，并應據此進行教學。”為了促進學習真正發生，教師有必要在備課時前后聯系，體察學習痛癢，精心設計教學流程，對知識進行有效“補償”，為斷裂的知識鏈補上缺失的一環，使數學學習更講道理。

面積單位公頃和平方千米與學生的日常生活距離較遠、聯系較少，用教材上的情境導入無異于隔靴搔癢。面積單位突然由“正常”的進率100跳躍到平方米和公頃之間的進率10000，這是痛癢點所在，此間的認知斷層在哪里？如何“講道理”地安全過渡？這是教學應該重點考量的，需要教師給予學生理解上的支持和扶助。

教學先從長度單位入手，順勢引出生活中已經應用的“十米”和“百米”，然后過渡到復習面積單位的大小和進率，學生自然而然就“創造”出“平方十米”和“平方百米”這兩個較大的面積單位，而且由教學現場統計可知，學生更喜歡用“平方百米”去代替公頃。如此學習，既修補了知識上的斷層，也激發了學生“再創造”的動力。

2.整合材料，教材是個引子

教材編排有其科學的結構體系，但并不意味著教師教學時要完全復制、照搬。教學本身就是一種不可完全復制的創新行為，其秉持的并不是“濤聲依舊”，而是“茍日新，日日新，又日新”。教師是連接教材和學生的紐帶，應有自己的理解和創見，讓教材為我所用，使數學教學講道理。

教材是個引子，教學“公頃”前應思考以下幾點：學習面積單位就不能忽略長度單位;進率10000就得考量進率100;學習面積單位也會促進學生認知體積單位。如此，學習才會向四面八方打開，生成知識聯結，改造已有經驗。上述案例中，師生共同經歷了“公頃”的創生過程，“相鄰兩個面積單位之間的進率是100”很有道理，由“平方米”躍遷到“平方百米”（公頃）并不突兀，再學習“平方千米”也是水到渠成。如此，將兩課時的知識點統整到一節課的時空里來，教學有整體，學習成體系。第二課時可以設計成活動體驗課，邀請學生到操場上和校園里去體驗真實情境，沉淀既有經驗。

3.邏輯推理，知識本講道理。

荷蘭數學教育家弗賴登塔爾曾這樣描述數學的表達形式：“沒有一種數學的思想，以它被發現時的那個樣子公開發表出來。一個問題被解決后，相應地發展為一種形式化技巧，結果把求解過程丟在一邊，使得火熱的發明變成了冰冷的美麗。”的確如此，數學教材呈現出來的皆是一些文字、圖表、字母和公式的組合，是科學的邏輯考量和成人的結構視角，它無法再現當初火熱的思考和探究過程，教師要做的便是對其進行解讀和再設計，使生硬的邏輯體系和冷冰冰的定義變得講道理、有溫度。

長度單位米和千米之間的進率之所以是1000，是數學本身的力量——兩者之間還存在“十米”和“百米”這兩個不常用的長度單位。當教學“補償”了這片缺漏的陽光后，學生根據邏輯關系進行“再創造”，推理出面積單位“平方十米”“平方百米”（公頃）“平方千米”已屬順水推舟，使冰冷的美麗重歸為火熱的思考。

總之，數學本身就是講道理的學科，有其內在的邏輯和體系。數學知識也并不是裸露、孤立的存在，需要教師在學習者的舊有經驗中找到附著點和生長點，借助合適的載體將其“引”出來。因此，在好的教學現場，知識一定是鮮活可感、講道理的，學習者持續沉浸其中，感受數學本身的力量，體驗思維進階的愉悅。