應用型人才培養模式下數學分析教學的探索與實踐

尚旭東 夏慧明

摘 要 本文在加強高等教育應用型人才培養模式的背景下，著重介紹了“數學分析”教學模式改革中的一些具體實踐：（1）重視教學手段的運用，培養學生的學習興趣;（2）重視逆向思維模式的運用，提高學生邏輯思維的靈活性;（3）融入數學建模的思想，增強學生解決生活實際問題的能力;（4）加強線上線下教學的融合，提高教學質量。

關鍵詞 應用型人才 數學分析教學 人才培養

中圖分類號：G424 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A ? ?DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2020.09.043

Abstract Under the background of strengthening the training mode of applied talents in higher education， this paper mainly introduces some specific practices in the teaching mode reform of mathematical analysis： （1） attaching importance to the application of teaching means to cultivate students' interest in learning; （2） attaching importance to the application of reverse thinking mode to improve the flexibility of students' logical thinking; （3） integrating the idea of mathematical modeling to enhance students' understanding （4） strengthen the integration of online and offline teaching and improve the teaching quality.

Keywords applied talents; mathematical analysis teaching; talent training

隨著我國經濟的快速發展及高等教育自身改革的進一步深入，應用型人才的培養及培養質量越來越受到國家教育部門的重視。《中國教育現代化2035》中明確指出，要加大應用型、復合型、技能型人才培養比重。南京師范大學泰州學院作為一所應用型本科大學，已將提升應用型人才培養質量的措施貫徹到了平時的教學過程中。數學分析是高等院校數學專業的一門重要基礎課，是學生學習實變函數、復變函數、概率論等后續課程的基礎，同時也是學生今后從事數學應用和理論研究的理論基礎。數學分析學習內容多，內容涵蓋實數理論、極限論、一元微積分、多元微積分及級數理論，學習時間跨度長，共三個學期二百五十六課時。學生在學習過程中普遍反映“難學”，難以把握數學分析的理論和思想方法。

他們覺得課堂上好像聽懂了，但課后作業不會做。主要有兩方面的原因，一是由于數學分析課程內容多、難度大，使學生產生畏難情緒;二是教材上相關問題的實際應用背景的介紹相對較少，會使學生體會不到所學數學理論的用處，進而影響了學生學習的積極性。如何利用有限的學時，高效合理的開展數學分析教學活動，使得我們的教學更加符合我校的應用型人才的培養目標，這是擺在我們面前的一個重要課題。我們結合多年的數學分析教學經驗和本校學生的實際情況，在教學過程中從以下幾個方面進行探索與實踐。

1 注重運用適當的教學手段，培養學生學習數學分析的興趣

偉大的物理學家愛因斯坦曾經說過：“興趣是最好的老師”。一個人如果對某學科產生了濃厚的興趣，就會主動地、專心致志地去探究它、鉆研它。學習興趣不是天生的，它是在后天的學習過程中逐步形成的。教師的教學活動在培養學生的學習興趣方面起著重要的作用。

加強數學問題研究背景的介紹，增強知識的趣味性。例如我們在學習定積分的定義時，可以給同學們講解課本上的定義的形成過程。首先柯西給出了關于定義在區間上的連續函數的定積分。如果函數在區間上具有有限個不連續的點，假設只有一個不連續點，柯西將積分定義為

其中假設所有的極限都存在。若有多個不連續點，可以類似的定義。然而，若函數在區間上具有無限多不連續點，柯西的積分定義就不再適用了。這時狄雷克雷提出可以用一種新的包容性更強的積分理論來處理，但他卻沒有在這方面提出過解決的思想，他只是給出了一個著名的函數例子，即我們課本上所說的狄雷克雷函數。1854年，黎曼在“大學執教資格講演”這篇論文中，提出了如何理解？他假設函數在區間上是有界的，由此給出了我們教材上的定義。接著他還提出并解決了關鍵的問題：“在什么情況下函數可積，什么情況下函數不可積？”通過這一背景故事的介紹，可以拓寬學生的視野，提高學生的學習興趣。

采用合適的教學方法，促進學生的學習興趣。教學過程中引導學生提出問題、解決問題，采用靈活多變的教學方法，為學生創造思考的空間，擴展學生的思維，激發他們的學習熱情。例如，在學習函數圖像的討論時，之前學生已經掌握了函數的單調性，凹凸性及求解函數的極值等知識，教師可以先設置幾個簡單的函數，讓學生自己計算、作圖、觀察，最后總結出作圖的一般步驟，最后教師進行必要補充和分析需要注意的事項。在講解新知識時，可以運用類比的方法讓學生聯系所熟悉的知識，避免教學的平鋪直敘。例如，我們學習極限性質時，可以先回憶收斂數列的性質：唯一性、有界性、保號性、保不等式性、迫斂性及四則運算法則，那么函數極限是否也具有這些性質？之間又有什么不同？如何證明？我們可以運用類比的方法，發現函數極限具有唯一性、局部有界性、局部保號性、保不等式性、迫斂性等。這樣可以調動學生學習的積極性，起到事半功倍的效果。

2 注重逆向思維的運用， 提高學生思維的靈活性

逆向思維是對司空見慣的似乎已成定論的事物或觀點反過來思考的一種思維方式。與常規思維不同，從問題的相反面深入地進行探索，其結果常常會令人大吃一驚，得到新的思想，新的認知。 在數學分析的學習中的分析法，就是典型的逆向思維。在解決一些數學問題時，順推得不到結果或者說很困難，我們可以考慮逆推，直接計算不好實現，我們可以考慮間接計算。在數學分析的課堂教學實踐中， 加強逆向思維的運用， 可以克服學生一些僵化的思維模式，促進他們思維的靈活性。

例如，收斂數列的保不等式性質：設數列和均為收斂數列。若存在正數，使得當時有，則。我們在講完這個性質以后，讓學生思考：若把條件換成嚴格不等式，結論是否也要跟著換成？讓學生思考并加以解決，成立要給出證明，不成立要舉出反例。通過學生們的熱烈討論，舉出了例子否定了此命題。通過該問題的研究討論，可以使學生精準的理解數學概念，更深刻的掌握數學中的定理，幫助學生多層面多角度觀察思考問題，培養其良好的思維品質。

例如我們研究：設函數在開區間上連續，并且中的每一點都是的極值點，證明：函數在開區間上是常值函數。本問題若直接運用相關的定理或者知識證明，將無從入手，問題無法得到解決。但若采用反證法，間接論證的方法之一，問題將會得到輕松解決。

在平常的上課過程中，對于定理的證明，我們注重分析法的應用;在定義概念的教學中，注意闡述定義的可逆性;加大一題多解的訓練，培養學生多角度全方位的思考問題。

3 注重數學建模思想的融入，提高學生分析問題、解決問題的能力

在解決實際應用問題時，先對問題進行觀察、假設，將其轉化為一個數學問題，然后建立數學模型，并對模型進行求解，最后根據結果去解釋實際問題。在數學分析教學中，通過數學建模思想的融入，可以使學生的數學知識與應用能力得到共同提高， 提高學生的創新能力，這是培養學生數學應用素質的一條有效途徑。

數學概念中融入數學建模思想。在數學分析中的概念講授中，若直接將高度抽象的嚴密的數學概念用數學語言寫出來告訴給學生，這樣學生不能理解其意思，只是看到一些數學符號，會慢慢的失去對數學分析的學習興趣。如果能夠設置適當的情境，引導學生了解模型的構建過程，逐步獲得對基本概念的直觀認識，進一步得到嚴格的數學概念，這樣效果更加顯著。例如，在講解定積分的定義時，我們可以討論變速直線運動的路程問題：設一物體沿著直線運動，其運動速度是時間的連續函數，求在一段時間內該物體所走過的路程？我們知道，在勻速直線運動中，走過的路程等于速度與時間的乘積。但對于變速問題，我們以前所學知識已經無法解決該問題。我們知道，速度是時間的連續函數，在很短的時間內它的變化很小，時間間隔越小，速度的變化量就越小。因此我們可以將很短的時間間隔內的變速直線運動近似看成勻速直線運動，來求路程的近似值，最后再取極限。這時，我們可以建立模型，引導學生分析解決，最后總結出定積分的定義。

課后作業中融入數學建模思想。以往我們的課后作業就是對定義、定理的直接應用，主要是為了加強學生對于基本概念和理論的理解，但是缺少對于解決實際應用問題的題目，這樣往往會讓學生感覺不到數學的用處，覺得數學無用。因此，我們注重在平時的課后作業中補充一些實際問題，引導學生進行分析，假設、建立數學模型，這樣不僅可以使學生掌握數學建模的方法，又可以使學生深刻體會到數學在解決實際問題的重要作用，這為把我校的學生培養成為應用型的人才提供了強有力的保證。例如在學完導數的應用以后，我們補充布置一些邊際收益，最優價格等相關模型應用問題。讓學生通過訓練發現自己對相關知識的掌握不足，進而激發他們的求知欲。

經過幾年的教學實踐，我們在數學分析教學過程中不斷融合數學建模思想的方法收到了良好的效果。

4 注重線上線下教學融合，提升課堂教學質量

“互聯網+”時代對全球的教育行業產生了深遠的影響，對我國的教育改革起到了推動作用。2018年6月，教育部在四川大學召開的新時代全國高等學校本科教育工作會議上，再次強調了持續推進現代信息技術與教育教學深度融合。這就要求我們廣大教師必須具有強烈的信息技術與課堂教學融合的意識。在這一背景下，我校的數學分析課程利用藍墨云班課進行線上線下混合式教學，將教學實踐分為課前學生自主學習、課堂老師集中講授、課后學生拓展學習三個階段，實現了從以“教”為中心向以“學”為中心的轉變，從對學生“知識傳授”為主向“能力培養”為主的轉變。通過幾年的實踐，取得了良好的教學效果。

課前自主學習，主要是教師提前備好教學資源，備好教學的重難點，提前設計好哪一部分內容講解為主，哪一部分內容討論為主。結合學生的知識水平和將要學習的內容，安排好學生的自主學習任務，任務的布置上對不同層次的學生要有彈性要求，這樣既照顧到不同層次學生的學習。接下來通過藍墨云班推送給學生，給定充足的學習時間，同時創建測試和討論活動。教師通過云班課對學生的學習情況做到及時了解，及時掌握學生自主學習的實施情況，確定固定時間為學生答疑解惑。依據學生自主學習的結果，及時改變、優化課堂的教學內容和教學方法。

課堂集中講授，主要是根據自主學習的開展情況，確定線下課堂授課內容，給予針對性的講解。首先，對自主學習內容進行總結，了解他們對知識的掌握是“真知”還是“假知”;接下來運用合適的教學手段，引領學生掌握理解知識難點，講解一定的例題，注意方法的多樣化;最后，選取一些經典的題目讓學生在黑板上做，并進行適時分析和評論，提高學生的口語表達能力。

課后拓展學習，補充適量的課后作業，注重作業的多元化，既要有能鞏固和熟練基本概念和定理的作業題目，也要有可探索的題目，對于作業可以在云班里面讓大家互評，提高學生的參與度;發布一些與所學知識相關的解決應用問題的視頻資料，開闊學生的視野，提高學生的應用意識，鼓勵學生參加各類競賽及項目，例如：大學生數學建模競賽、挑戰杯、大學生創新訓練計劃等，提高學生運用所學知識解決問題的能力。

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