挖掘潛能，提升素養，讓數學課堂煥發生命活力

錢新凱

[摘? 要] 課堂教學是師生共同展示生命活力的場所，是師生共同挑戰問題的賽場，是師生產生心靈共鳴的磁場. 文章以一道習題的教學為例，探討如何挖掘學生潛能，提升學生素養，讓數學課堂煥發生命活力.

[關鍵詞] 習題教學;素養;生命活力

課堂教學是師生共同展示生命活力的場所，是師生共同挑戰問題的賽場，是師生產生心靈共鳴的磁場. 然而在實現教學過程中，課堂教學仍然存在著一些問題，教師為知識的傳授而教學，學生為知識的獲取而學習，課堂成了知識“交易”的場所，學生的創造性和主動性得不到發揮，對學習的熱情幾近消退.

讓數學課堂煥發生命活力，就是讓學生有知識的獲取，有個性的張揚，有思維的增長，有素養的生長;讓數學課堂煥發生命活力，就是讓教師的教學藝術得以施展，有付出的喜悅，有精神的收獲. 本文以一道習題的教學為例，探討如何挖掘學生的潛能，提升學生的素養，讓數學課堂煥發生命活力.

課例分析

1. 問題起源

設集合A={xx2+2x-3>0}，集合B={xx2-2ax-1≤0，a>0}. 若A∩B中恰好含有一個整數，試求出實數a的取值范圍.

2. 聚焦問題

本題是在高三三輪復習時，筆者安排的一道習題，看似簡單，實則不然. 問題拋出后，給足學生思考的時間，筆者來回巡視，發現不少學生剛進入問題就思維卡殼，從而無處下手. 不少學生進行了以下處理：A={xx2+2x-3>0}={xx<-3或x>1}，B={xx2-2ax-1≤0，a>0}={xx1≤x≤x■}，其中x1=a-■，x2=a+■，a>0. 下一步該如何處理？學生一臉茫然.

師：下面，請哪位學生來說一說，對于本題你是如何思考的呢？

生1：本題要求的是a的范圍，分析題目，條件“A∩B中恰好含有一個整數”則是破解的關鍵，那就需先求出A∩B，但是由于B中含有字母項，則求解無望. 那下一步該怎么做？分類討論嗎？

師：很好，思路清晰！我們一步步來思考，這里求解A∩B的關鍵是什么呢？

生1：求解A∩B的關鍵是比較a-■與-3，a+■與1的大小關系.

師：那可以比較嗎？

生1（思考片刻）：a+■與1的大小關系易比較：因為a>0，所以a+■>1;而a-■與-3卻無法比較. 這里需要分類討論嗎？

師：哪位同學愿意來幫助生1判斷a-■與-3的大小關系呢？

生2：我覺得可以這樣判斷：設a-■≤-3，則a+3≤■，解得a≤ -■，而顯然與a>0不符，則a-■> -3. 又a-■<0，所以-3

生3：我還有更簡單的方法：因為a>0，所以a+3=■>■（a>0），所以a-■>-3.

師：非常棒！這樣一來，我們就可以得出A∩B=（1，a+■]（如圖1所示）. 又A∩B中恰好含有一個整數，顯然這個整數是2，所以2≤a+■<3，所以2-a≤■<3-a，解得■≤a<■.

3. 集思廣益

正待探究準備收場之際，一名學生舉手示意：

生4：我認為a-■的范圍還可以縮小.

師：真的嗎？那太好了！

生4：a-■=■=■∈（-1，0）（a>0）.

師：你居然運用了分子有理化，是如何想到的！真是太棒了！

（筆者對生4的大肆贊許有效地激發了其他學生的探究斗志）

生5：我可以不用解集合B中的不等式就能求出a的范圍.

師：還可以不解不等式求出結果？真的嗎？愿意和大家一起分享嗎？

生5：令f（x）=x2-2ax-1（a>0），其設兩零點分別為x1，x2，且x1<01}，可知若A∩B中恰好含有一個整數，則該整數只能是-4或2.

①若該整數是-4，則由題意可知f（-5）>0，f（-4）≤0，f（2）>0，所以25+10a-1>0，16+8a-1≤0，4-4a-1>0，解得-■0矛盾，故該整數不可能是-4.

②若該整數是2，則由題意可知f（2）≤0，f（3）>0，f（-4）>0， 所以4-4a-1≤0，9-6a-1>0，16+8a-1>0，解得■≤a<■.

綜合①②可知，故該整數只能是2，所以a的取值范圍為■，■（解法2）.

師：真不簡單！這道題不解集合B中的不等式也同樣能求a的范圍. 生5的解析過程實質上就是運用了“零點存在性定理”，這是一個與解法1迥然不同的思路. 那大家來對比一下，以上兩種解法的優劣性. （學生嘰嘰喳喳地爭辯了起來，兩種解法各執一詞，辯論現場相當火爆）

4. 拓展創新

生6：如果本題改為“設集合A={xx2+2x-3>0}，集合B={xx2-2ax-1≤0，a>0}. 若A∩B中恰好含有兩個整數，求實數a的取值范圍”，那么解法2就毫無優勢了，因為這里就必然涉及分類討論. 而解法1中只需要解不等式3≤a+■<4，以此類推三個整數、四個整數……也是同樣思路.

師：很棒！生6還在解法探究的基礎上進行了變式拓展，數學學習就需要這樣一種富有創造性的態度，只有孜孜不倦地求索，才會有源源不斷的收獲！（筆者正準備結束本題的探究，又有學生舉手）

生7：我認為解法2還可以更簡潔：據前面分析，可得該整數只能是-4或2.

①若該整數是-4，則令f（x）=x2-2ax-1（a>0）. 因為f（x）=x2-2ax-1（a>0）的對稱軸x=a>0的左零點x1需滿足x1∈（-5，-4]，所以右零點x2需滿足x2>4. 這樣一來A∩B就不止一個整數，至少會有3個整數2，3，4，故以上情況不成立.

②若該整數是2，則必然正根x2落在[2，3）內，所以f（2）≤0，f（3）>0，即4-4a-1≤0，9-6a-1>0， 解得■≤a<■.

綜合①②可知，該整數只能是2，所以a的取值范圍為■，■（解法3）.

（生7剛剛解析完，筆者還未來得及評析，班上一位較為內向的同學舉手，看來學生都迫不及待地想要展示自己了）

生8：我不同意剛才生6所說的解法2會在題目進行變式后變得復雜. 令f（x）=x2-2ax-1（a>0），一旦鎖定x1∈（-1，0），因為A∩B=（1，x2]，所以若A∩B中含有兩個整數，只需f（3）≤0，f（4）>0，所以9-6a-1≤0，16-8a-1>0， 解得■≤a<■.

師：這種方法果然是最簡單的！讓我們一起為生8喝彩！同學們，我們在學習的過程中一定要不懼挑戰，勇于質疑，敢于猜想，這樣才能有所發現，有所創造，讓我們一起為創造奇跡而努力！

一點感悟

1. 注重“對話”，挖掘潛能

在課堂教學中，教師需善于啟發，體現“道而弗牽，強而弗抑，開而弗達”的啟發式教學的本質[1]■. 以“對話”推進習題教學的開展，充分挖掘學生的潛能，讓學生經歷完整的探究歷程，感受思考的過程、探究的歷程和思維的進程. 以上案例中，采取“對話”引領學習的方式，讓學生帶著問題展開思考和探究，將學生主動學習的學習方式落到實處，關注到學生的參與，教師保持精講多聽，將學生推到學習的前臺，推到探究的主位，充分發揮學生潛能，讓學生思考、探究、表達、辨析、總結，整個教學過程中學生的主體意識逐步加強，讓抽象枯燥的習題課在學生火熱的思考中綻放生命光彩.

2. 注重“體驗”，提升素養

在課堂中，教師需培植學生積極向上的情感，注重學生的學習體驗，做好學生學習的引路人，幫助學生克服畏難情緒，從根本上提升教學的有效性，提高學生的數學素養. 以上案例中，教師將課堂的主動權全部還給學生，所有學生都可以暢所欲言，充分表達自己的思路和想法. 他們在一系列問題的探究和解決過程中，享受到了學習帶來的激情，感受到成功的愉悅，體驗到痛而后快的一種生命幸福，有效提升了數學素養[2]■.

3. 注重“激勵”，鑄就生命課堂

德國教育家第斯多惠這樣告訴我們，教育的藝術并不在于本領的傳授，而在于激勵、喚醒和鼓舞. 新課程改革的推進下，廣大教師對課堂激勵性評價有了嶄新的認識，并成為課堂教學中一種重要的教學手段. 有效的激勵作為支撐對學生言行的肯定和精神的誘導，可以讓課堂開出精彩之花，結出豐碩之果. 以上案例中，執教者不僅運用了“太棒了”“真不簡單”等簡單的激勵性詞語，還不吝將贊美和賞識大肆地表揚給學生，鼓勵學生“標新立異”“別出心裁”，從而帶動學生的情感，牽動學生的思維，讓創造性思維在教學中散發魅力，鑄就生命課堂■[3].

總之，教師應當對學生適時引導、適當幫助和適度激勵，注重“對話”，注重“體驗”，注重“激勵”，師生共同學習，共同探究，共同創造，共享學習的快樂，才能真正讓課堂煥發生命活力，才能真正鑄就高效課堂.

參考文獻：

[1]? 韓龍淑，王新兵. 數學啟發式教學的基本特征[J].數學教育學報，2009（06）.

[2]? 聶必凱，汪秉彝，呂傳漢. 關于數學問題提出的若干思考[J]. 數學教育學報，2003，12（02）.

[3]? 章建躍. 構建邏輯連貫的學習過程使學生學會思考[J]. 數學通報，2013，56（06）.