數學抽象及其教學實踐

陳寶青 雒義霞

[摘? 要] 數學抽象是數學學科核心素養(yǎng)的第一個要素，教師站在數學抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的機制角度理解并實施其教學，是數學抽象素養(yǎng)落地的前提. 教師要從學生思維角度理解數學抽象，進而認識到數學抽象的本質是數學抽象概括能力培養(yǎng). 數學抽象過程，對應的就是學生的數學抽象概括過程，因此培養(yǎng)學生的數學抽象概括能力，實際上就是在培養(yǎng)學生的數學抽象能力，也就是在提升學生的數學抽象素養(yǎng).

[關鍵詞] 高中數學;數學抽象;教學實踐

數學抽象是數學學科核心素養(yǎng)的第一個要素，也是數學學科異于其他學科的本質特征之一，作為抽象的下位概念，數學抽象強調在抽象的過程中運用數學的思維去加工抽象的對象，因此從這個角度講數學抽象是數學最基本的思維方式，它具有純粹性、精確性、理想化、模式化、形式化等特點. 在傳統(tǒng)的數學教學中，數學抽象的地位是比較高的，但是從教學經驗以及一些教學文獻來看，對數學抽象在教學中的重心，似乎更多地落在抽象過程與結果的經驗化表達上，談及數學抽象的過程，往往也只是用數學抽象這個概念去表達，對于數學抽象背后所運用的數學思想方法，往往著墨不夠. 其背后的原因是因為重視不夠，還是因為研究深度不夠，這是值得思考的. 核心素養(yǎng)重視培養(yǎng)學生的必備品格與關鍵能力，這不是一個簡單的任務，教師站在數學抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的機制角度理解并實施其教學，是數學抽象素養(yǎng)落地的前提. 大量研究表明，高中數學教學中的數學抽象，對學生的抽象概括能力有著較大的依賴，在數學教學中應當重視學生抽象概括能力的培養(yǎng)，并且應當以之為支點，去撬起數學抽象的教學.

從學生思維角度理解數學抽象

首先必須強調的是，數學抽象的主體應當是學生，數學抽象是學生運用數學思想方法進行抽象的過程. 對數學抽象的研究，更應當站在學生心理的角度去理解，去實施. 上面已經闡述了從抽象概括能力培養(yǎng)的角度，去實現(xiàn)數學抽象素養(yǎng)的提升.

通常情況下都認為數學抽象概括能力是數學思維能力，也是數學能力的核心. 數學抽象概括能力具體表現(xiàn)為這樣的幾種能力：發(fā)現(xiàn)在普遍現(xiàn)象中存在著差異的能力、在各類現(xiàn)象間建立聯(lián)系的能力、分離出問題的核心和實質的能力、由特殊到一般的能力、從非本質的細節(jié)中使自己擺脫出來的能力、把本質的與非本質的東西區(qū)分開來的能力、把具體問題抽象為數學模型的能力等方面. 對于這幾種能力的理解，站在學生的角度應當有這樣幾點理解：一是數學抽象概括能力要引導學生在具體的情境中，發(fā)現(xiàn)普遍現(xiàn)象之間的差異，顯然這是指數學視角下的差異，需要的也是學生的數學視角，這一點原本就體現(xiàn)著史寧中教授對數學抽象的界定，即用數學的眼光看事物;二是數學抽象概括能力要引導學生完成數學判斷，數學判斷的過程就是從數量關系、圖形關系中抽象出數學概念以及概念之間的關系（數學規(guī)律）的過程，這個過程的結果是用數學語言來表達的;三是數學抽象與概括最終表征為數學概念、數學規(guī)則、數學命題、數學模型、數學思想、數學方法、數學結構、數學體系等等.

根據教學經驗可以發(fā)現(xiàn)，高中學生在這些方面具有一定的能力基礎，但是能力運用的邏輯并不清楚，更多的是一種學習經驗支撐下的能力運用. 這樣的能力運用過程理解為默會知識，而要想以抽象概括能力為抓手，培育學生的數學抽象素養(yǎng)，就要將這種隱性的默會知識變成顯性的門類培養(yǎng)過程.

數學抽象中數學概括教學實踐

將數學抽象作為一種宏觀視角，而將數學抽象概括能力的教學作為抓手，這是有效的教學策略. 更加精確的研究表明，數學抽象通常要經歷感知與識別、分類與概括、想象與建構、定義與表征、系統(tǒng)化與結構化等五個階段，而為了更好地發(fā)展學生數學抽象素養(yǎng)，數學教學應夯實抽象的基礎，指導抽象的方法，重視抽象的過程，加強學生抽象實踐，加強對抽象素養(yǎng)的評價. 將這樣的表述與數學抽象概括能力培養(yǎng)結合起來，有同行建議在教學過程中，利用弱抽象概括教學引出新知，利用強抽象概括教學鞏固新知. 所謂弱抽象與強抽象，若抽象強調在原型中選取某一個特征或者某一個方面進行抽象，其前提是這個原型的特征比較豐富，也正是因為如此，人們在數學抽象的第一步往往選擇的都是弱抽象;相應的，如果原型的特征比較貧乏，弱抽象無法發(fā)揮作用，就必須運用強抽象. 例如，在函數概念的建構中，教師往往都會給學生提供函數關系比較密切的實例，如一個做斜拋運動的物體，其距水平地面的距離（高度）與運動時間之間的關系. 對于高中學生而言，這樣一個關系早在物理學科的學習中就已經遇到過，因此學生可以很快地建立起h=v0t-■. 在這里，斜拋運動是一個比較形象具體的生活實例，而函數關系式h=v0t-■則是一個抽象的數學表達式，因此學生的抽象過程實際上就是一個弱抽象過程，因此在實際教學中幾乎看不到學生，有一個明顯的抽象過程，學生學習過程中一下子發(fā)生的就是概括. 因此教師在教學中，只要將這個隱性的過程變成顯性的過程，就可以比較直接地實現(xiàn)抽象概括能力的培養(yǎng).

再看另外一個例子：在函數的奇偶性教學中，由于學生生活中缺乏對函數奇偶性提供支撐的實例，因此教師只可能從抽象的數學素材中尋找例子，來給學生創(chuàng)設情境. 如圖，分別是兩個函數圖像，讓學生去分析、比較，看兩個函數有什么共同的特征？

這是一個非常重要的問題，是引導學生在原有知識基礎上進行抽象概括的驅動力. 學生在抽象的過程中，只能通過函數圖像的形狀，發(fā)現(xiàn)其“對稱性”;但是這個時候的對稱性只是一種表象認識，而不是數學認識，因此必然要經歷一個概括的過程，這個概括是對兩個圖像分析綜合結果的概括——概括當然是指向對圖像上坐標的分析的，兩個圖像上x與-x對應著同一個y值，這在數學上意味著什么？顯然，從函數的角度來看，就是f（x）=f（-x）. 這個時候的抽象概括過程并沒有結束，教師還需要引導學生思考，除了f（x）=f（-x），是否還存在其他的情形？

在這樣的學習思路中，用抽象概括驅動起學生的思維，學生可以比較順利地建構起關于函數奇偶性的認識. 而這樣的一個抽象過程，由于提供給學生的抽象素材中，關于函數奇偶性的特征并不明顯，因此學生的抽象就是強抽象.

從抽象概括能力培養(yǎng)的角度來看，從學生思維的角度來看，在上述兩個案例的教學過程中，學生經歷了數學抽象的過程，經歷了運用數學語言概括數學抽象結果的過程，這兩個過程都是指向思維的，無論是基于函數解析式的思維，還是基于函數圖像的思維，都為數學概括奠定了基礎，而將數學抽象與數學概括結合起來，數學抽象概括的過程都成為數學抽象素養(yǎng)形成的有力支撐.

基于抽象概括視角的數學教學

數學的研究對象，也就是數與形，都是數學抽象的產物，高中生在數學學習的過程中，在用自己的思維加工大腦當中相對熟悉的數形經驗時，又或者是加工形象的事物，然后通過抽象獲得的數形的時候，都是離不開思維的. 相應的數學抽象過程，對應的就是學生的數學抽象概括過程，因此培養(yǎng)學生的數學抽象概括能力，實際上就是在培養(yǎng)學生的數學抽象能力，也就是在提升學生的數學抽象素養(yǎng).

研究數學抽象概括的基本界定可知，抽象概括能力是面向具體的、生動的實例的，在抽象概括的過程中，教師引導學生發(fā)現(xiàn)研究對象的本質，并從給定的大量信息材料中概括出一些結論，就能將其應用于解決問題或做出新的判斷. 相對于傳統(tǒng)的教學而言，這是一個新的教學視角，某種程度上講也對應著教師的教育哲學. 數學教師的教育哲學影響著自己對教學方式的選擇，影響著對學生學習過程的判斷，對于數學教師而言，對數學抽象概括的認識可以成為數學教育哲學的基本組成部分，影響著教師在數學抽象教學中的選擇.

筆者認為數學抽象是數學學習的基礎，而數學抽象概括作為數學抽象的實質，又是基礎的基礎，認識到這個基礎性作用，也就決定了在實際教學中必須高度重視數學抽象的教學. 筆者的教學實踐表明，在教學設計中帶著數學抽象概括的意識，在教學實踐中帶著數學抽象概括的培養(yǎng)技巧，在教學反思與教學評價的過程中，讓學生認識到數學抽象和數學概括的價值，就可以讓數學抽象在教學中真正得以落實，從而也就為數學學科核心素養(yǎng)的落地提供有力的保障.

總的來說，數學抽象是高中數學教學研究的一個熱門話題，抓住數學抽象的本質進行教學研究，是從表面走向本質、從經驗走向智慧的重要思路，每一個高中數學教師都應當建立起這樣的認識，如此可以奠定核心素養(yǎng)培育的基礎.