基于發展“數學抽象”素養的教學

施俊源

摘 要：為了學生能更好地從數學角度去形成概念、方法與體系，高度概括與認識數學的本質，能逐漸養成一般性思考問題的習慣，能在相關學科的學習中主動運用數學抽象的思維方式解決問題。在平時的課堂中就需要用數學眼光去觀察，用數學思維去分析，用數學語言去表達。

關鍵詞： 數學抽象 數學思維 數學角度

一、實例——數學抽象能力的前提

數學抽象的實現過程是一系列比較和區分、舍棄和收括的思維操作過程。函數單調性首先從函數圖像上直觀感受它，并用自然語言加工經歷第一次數學抽象過程。

問題1：請同學畫出下面兩組函數在相應區間[1，2]上的圖像，然后指出每一組在性質上的共同點是什么？第一組：，;第二組，;

生：第一組圖像呈現一個上升的形式，第二組圖像呈現一個下降的形式。

師：我們可以思考怎么樣用y與x之間存在的變化關系去描述圖像的這一特征呢？

生：第一組圖像中y隨著x的增大而增大，第二組圖像中y隨著x的增大而減小。

設計意圖：給出若干函數的圖像，從一系列的比較和區分開始，在思維中比較出每組圖像的共同特征用自己的語言表達出來，同時兩組之間不同的特征也進行區分，形成一個表達概念的詞，完成一個初步的抽象過程。

問題2：怎么把“在區間上，函數隨著x的增大而增大”用數學符號語言表示？

師：同學們的身高在每年都會發生變化，我們在現實生活中是怎么量化這種變化的呢？如果身高變高了一般怎么發現？

生：體檢的時測量身高的時候就會知道，今年的身高減去去年的身高，如果大于零就可以代表長高了。

師：那么x的增大可以怎么表示，我們用可以用，，來表示嗎？

生：用第二x個減去第一個x大于零表示。

師：很好，那么現在請大家思考，如何表示函數隨著x的增大而增大？

生：如果時，。

師：那我們試著來用集合語言來描述“，在區間[a，b]上”，并且完整的描述“在區間[a，b]上，函數f（x）隨著x的增大而增大。”

生：，“若，時，”。

設計意圖：通過教師啟發引導，讓學生體會隨著x的增大就是自變量發生了變化，從而引出用任意的兩個自變量，來表示。同理，學生也可以自然而然地想到用和來表示

增大。

二、反例——數學邏輯嚴密的保證

在第一次，第二次的抽象中把重點放在初步描述單調性，即和x之間的變化關系上，但是對于定義中部分嚴密性的認識存在不足。因此還需要對定義中部分的名詞作一個更為深刻地理解。

生：還是用前面那個函數圖像，上有無數對，

使得，都有，但是不能說在

（0，2）上是增函數。

師：這無數多對是怎么取出來的？

生：這無窮多對可以全部從區間（1，2）中取出，但是函數在區間（0，2）上是既有單調遞減的部分，也有單調遞增的部分。

師：現在讓我再仔細來看看增函數的定義“如果對于定義域I內某個區間D上的任意（重音）兩個自變量的值，，當，都有，那么就說在區間D上是增函數。”能觀察到哪一個哪一個重要的詞？

設計意圖：在對單調性概念的有一定的理解后，再利用反例幫助學生更深刻地理解概中出現的一些關鍵詞，完善對單調性概念的一個嚴密的定義。

有一些知識是比較相接近的或者是密切聯系的，學生在學習的過程當中往往容易混淆，反例可以有效地加深學生對概念的認識.同時，鍛煉學生的發散思維能力，將所學的知識點呈線性展開，并且構建整體框架。

三、對教學中實踐“數學抽象”形成的反思

本節課有梯度地從具體到抽象引導學生逐漸地完善數學抽象概念——單調性概念——訓練提高他們的思維水平。在抽象化過程中，利用反例完善概念的理解，拓展學生的邏輯嚴謹性。數學抽象形成過程中可以幫助學生體會數學知識之間的關系，理解數學知識中層次性與構建知識中所體現的結構規律，這就是數學思維的訓練。

任何一個抽象概念都不是一蹴而就，教學中我們要習慣整理借用已有的知識背景，通過設計有序展示在課堂中。在過程設定初步抽象，第二次抽象所要完成的教學目標，幫助學生理解掌握數學概念的內涵以及在形成數學抽象過程中需要具備的能力。最終通過學習不同數學概念，進而加深個部分知識潛在聯系。高中函數是初中函數的深化，形成一個整體概念。

從一般事物通過觀察，分析，歸納，猜想，驗證，得出結論的這種思維方式是人們認識規律的體現，而在數學概念形成中更能夠充分的體現這一過程。要數學抽象的形成讓學生意識到學習數學不僅僅是學習知識，更是一種學習與認知世界的一種方法。

參考文獻

[1]莊志剛.對高中數學核心素養與教學設計的思考[J].高中數學教與學2017（8）：37-40.

[2]王萍.聚焦核心素養追尋數學本質——淺談如何錘煉學生的數學思維[J].陜西教育2016（12）：46-47.