數學本質中的美學意味

胡有林

[摘要]數學中蘊涵著獨特而奇異的美，這種美具有鮮明的內在性、內驅性、鑒別性、層次性和精神理性，發現這種美，勢必為數學研究和數學教學提供一條切實可行的捷徑。

[關鍵詞]數學美;內在性;鑒別性;理性精神

數學中處處蘊涵著美——形式的美與內容的美，獨立的美與統一的美，這些美反映了一種自然的秩序與規律，彰顯了人的最深層次的本質力量對象化的外部結果。

一、數學美的內在性

在客觀世界紛繁雜蕪的各種變化與現象中，時刻貫穿、孕育著各種各樣的美。美是雜亂中的秩序，是變化中的規律。美是客觀世界的本質屬性，是引領整個客觀世界向前發展的內在動力。數學美作為科學美的重要方面，就是對自然界中客觀存在的秩序與規律從數與形的角度給予反映和揭示。對于數學美的存在性，可以從兩個方面來認識與考察。

首先，客觀世界中處處滲透與體現著數學美，數學美是對客觀世界內在規律的反映。對于數學美與客觀世界之間的相互聯系，古希臘時期的畢達哥拉斯學派就開始著手研究。畢氏學派在研究音樂樂理的諧音與天體運行的軌道時，發現二者在數量關系上都滿足整數比，從而得出結論“宇宙間萬物的總規律，其本質就是數的嚴整性和和諧性”，“美是和諧與比例”。在這樣的認識基礎上，畢氏學派試圖從數和數的比例中求得美和美的形式，并終于從五角星形中發現了“黃金分割”，進而得到黃金比。這是數學美學認識史上的一大突破。

其次，溯源于客觀世界的數學理論內部也充滿著數學美。這種美本質上間接地表征了客觀世界的固有規律。古代哲學家、數學家普洛克拉斯甚至斷言：“哪里有數，哪里就有美。”的確，數學中美的例子可謂俯拾即是。例如，皮亞諾算術公理系統，就是邏輯結構簡單美的典范;希爾伯特以非構造方法成功解決了代數不變量理論中的戈丹問題，體現數學方法的簡單美;代數中的共扼根式、共扼復數、對稱多項式、對稱矩陣等。幾何中的軸對稱、中心對稱、鏡面對稱等，都表現了數學中的對稱美;運算、變換、函數，這三個分別隸屬代數、幾何、分析等不同數學分支的重要概念。在集合論建立之后，便可以統一于映射的概念，這體現了數學中的統一美……

二、數學美的理性精神

英國著名哲學家、數學家羅素曾經這樣描述過數學的美：“數學，如果正確地看它，不但擁有真理，而且也具有至高的美，正象雕刻的美，是一種冷而嚴肅的美、這種美不是投合我們天性的微弱的方面，這種美沒有繪畫或音樂那些華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達到嚴格的只有最偉大的藝術才能顯示的那種完滿的境地。”羅素的這番精彩論述以“冷而嚴肅”“純凈”“崇高”“嚴格”“完滿的境地”等字眼來形容數學的美，將數學美的與眾不同淋漓盡致地展現在人們面前。羅素所指認的理性美突出地表現于以下兩個方面。

第一，數學的美是內在的美、隱蔽的美、深邃的美。數學美是客觀規律的反映，但這種反映不是像照鏡子那樣直接反映，而是人的能動反映，是自然社會化的結果，是人的本質力量對象化的結果。它所反映的不單純是客觀事物，而是融合了人的思維創造。因此，要領悟數學美必須透過，“抽象、枯燥”的符號、公式及定理等洞察其內部的數學思想 。

第二，從價值追求的角度看，數學美實質上體現了人的審美精神，這種精神說到底是一種理性的精神，恰恰是這種精神，“使得人類的思想得以運用到非常完善至美的程度”，即“完滿的境地”;正是這種精神，“從一定程度上影響人類的物質、道德和社會生活，以試圖回答有關人類自身提出的一些問題”;正是這種精神，“使得人們能盡可能地去理解、了解、控制自然，掌握客觀世界的規律”;正是這種精神，“使人們有可能去探求和確立已經獲得的知識的最深刻的、最完美的學科內涵”，并使之“純凈到崇高的地步”。這是數學美固有的獨特內涵。

三、數學美的內驅性

對于數學美的追求歷來是科學家進行發現與創新的重要內部驅動力。阿達瑪與彭加勒都曾從心理學角度闡釋美與發明創造之間的關系。他們認為，創造的本質就是做出選擇，就是要拋棄不合適的方案，保留合適的方案，而支配這種選擇的正是科學美感。數學史的研究表明，希臘幾何學家之所以研究橢圓，可以說除了美感之外，再沒有什么其他動力了。著名物理學家麥克斯韋在沒有任何實驗依據的情況之下，僅從數學美的考慮出發，將實驗得出的電磁理論方程重新改寫，以求得方程形式上的對稱優美。令人驚異的是，改寫的方程競被后來的實驗證實了，而且利用方程還可推導出一系列令人陶醉的結果，電磁理論決定性的一步就這樣跨出了。這不能不讓人相信美的確具有如此巨大的推動力與支配力。

人類對數學美的追求也在不斷推動整個數學向前發展，數學發展的歷史不啻是一部追求數學美的前進史。比如，在數學發展的歷史長河中，數學家們堅持不懈地追求數學的統一性，從而相繼誕生出三部數學巨著：歐幾里德的《幾何原本》，羅素與懷德海合著的《數學原理》，布爾巴基學派的《數學原本》。再如，出于邏輯簡單性的考慮，數學家們很早就對歐氏平行公理的自明性和獨立性產生懷疑，經過幾個世紀的研究，最終導致非歐幾何的建立。此外，對于奇異性的追求也同樣推動了數學發展，對此，哥德爾不完備定理的提出可以說是一個極好的例子，紐曼和耐格爾曾把這一定理稱為“數學與邏輯學發展史中的里程碑”。

綜上所述， 無論是對個人的創新，還是對數學科學的整體發展，數學美的推動作用都是毋庸質疑的。

四、數學美的鑒別性

古往今來的很多數學家、科學家都將數學美視作衡量自己或他人研究成果的重要評價尺度之一。數學美猶如一個篩子，數學家們利用這個篩子對理論中的各種因素做總體上的甄別與評判，剔除丑陋保留美好，力圖最終獲得“美”與“真”的完美統一。

數學家與科學家們之所以如此看重數學美，就是因為數學美的甄別性在一定程度上為該理論的發展前景作出了預測，同時也在一定程度上為科學家們的工作指明了方向。如眾所知，概率論的產生始于17世紀，在當時，由于人們對概率概念所存有的不同理解，所以建立的理論體系也不完全一樣。在這些理論體系中，最迷人的是前蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫建立在公理集合論上的測度論的概率論。以數學美的標準來評價，柯氏的理論體系，無疑極大地顯示了數學的簡單美與統一美，不僅對論述無限隨機實驗序列或一般的隨機過程給出了足夠的邏輯基礎，而且應用于統計學也很方便。歷史的發展充分地證明了，在這些理論中，惟有柯氏的概率論不斷得到進一步發展，而且后來還產生了不少新的分支。正如Nobel物理學獎獲得者狄拉克所言：“一種理論如果是正確的，它就應該是美的，一種美的理論有普適性，它有能力預言、解釋、提供范例，可用它來進行工作，因而數學美能激起人們的熱情，對它的追求就好像是一種信仰行為……數學美是對理論具有決定取舍作用的一個準則。”

五、數學美的層次性

根據前面的分析，數學美的本質體現在兩個發方面，它既是一種客觀世界的本質屬性，又是人對于這種本質屬性的主觀認識與感受，且二者之間是辯證的融合。從本質上說，這種美的層次性特征既表達了客體美對人的感官、思維的沖擊上的層次差異性，又體現了個體對數學美的主觀認識上的階段性與發展性。張猷宙和木振武兩位教授可謂對這一課題做了獨特而深入的研究，他們結合數學美育，從主觀認識與客觀反映之間辨證聯系的角度出發，提出了數學美的四個層次：美觀、美好、美妙、完美，并以此為基點，探究優化課堂教學的策略與構想。

總之，一向被人們認為枯燥乏味的數學，實則蘊涵著豐富的美，在研究和教學實踐中，不斷地尋找數學美，無疑是做好研究和教學工作的一條重要而有效的路徑。

（本文責任編輯 ?石 ?門）