培養(yǎng)高中學生數(shù)學思維能力的教學例談

高嘉

[摘? 要] 學生的知識獲取與思維發(fā)展于其終身發(fā)展來說一樣重要，教師在傳授知識的過程中同樣要關注學生思維過程的發(fā)展，使學生獲得更多啟迪與針對性的訓練并實現(xiàn)思維的進一步深化和發(fā)展.

[關鍵詞] 數(shù)學思維能力;形象思維能力;直覺思維能力;邏輯思維能力

皮亞杰對單純向學生傳授知識的教學行為是極力反對的，近年來的高考試題對數(shù)學思維能力的考查也愈發(fā)明顯，以思維能力為核心并對各種能力進行考查是數(shù)學高考的宗旨，因此，單純掌握現(xiàn)有公式、定理的理念已經(jīng)過時，在數(shù)學學習中掌握科學的思維方法才是重中之重. 一般而言，學生的解題過程表現(xiàn)為獲取信息、啟動思維、遞進思維、深化思維這四個環(huán)節(jié)，教師指導學生解題時應在明確目標、弄清概念、運用規(guī)律和設疑點撥上進行并因此促成其思維能力的發(fā)展.

培養(yǎng)形象思維能力

從認識過程的角度來分析，直觀就是學生的大腦在客觀事物的作用下形成感性認識的過程. 雖然直觀為學生建立的只是感性認識，但作為思維起點的直觀卻是學生從感性認識轉向理性認識的開端，學生只有在這一起點與開端的基礎上才能對空洞的概念、公式和定理形成興趣并產生求知欲. 脫離興趣的支撐，積極思維自然只能是空談. 憑借形象進行思維并因此獲得從具體到抽象、從感性到理性的思維的過程才能令學生的思維處于活躍狀態(tài)之中.

1. 借助典故、趣聞、信息的引入以激發(fā)學生學習興趣.數(shù)學名人軼事在課堂教學中的引入能使學生充分感受到他們勤奮上進的學習精神，使學生激發(fā)出更加強烈的學習愿望與興趣并在學習中表現(xiàn)得更為積極.

2. 直觀教具的運用激發(fā)學生的空間想象.教具的使用不可或缺，比如，橢圓概念的教學中，教師利用教具演示可以使學生在生動的橢圓形成的過程中建立感性認知并形成概念. 比如，教室里的黑板、天花板、地面、日光燈等等都可以運用進線線、線面、面面關系的教學中，使學生在實物的位置關系的體會中理解空間圖形的線線、線面、面面關系并因此獲得空間觀念和空間想象力的發(fā)展.

3. 數(shù)形結合以促進問題的轉化.圍繞數(shù)與形的抽象、演變與發(fā)展而進行的數(shù)學研究奠定了數(shù)與形的基本地位，每個幾何圖形中所蘊藏的數(shù)量關系都能夠在圖形的直觀中得到形象的描述，因此，通過數(shù)形之間的聯(lián)系與轉換并使問題解決是解決數(shù)學問題的一個重要途徑.

從初中數(shù)學知識點上進行提高與引申的高中數(shù)學，雖然在內容上看有很多相似，但其形式和要求卻相對復雜很多. 比如學生往往感覺無從下手的一些二次函數(shù)問題，這是一個需要進行強化訓練的知識點.

例1：假如函數(shù)f（x）=4x-x2-a剛好有三個零點，那么a=______.

解：令f（x）=0，則4x-x2=a.

如圖1所示，首先作出y=4x-x2的圖像，接著將x軸下方的圖像翻轉至x軸上方，y=a過拋物線頂點時正好存在三個交點，因此可得a=4.

變式：若函數(shù)不存在零點，那么a應等于多少？存在兩個零點、四個零點時，a又應該如何取值？

數(shù)形結合思想在具體解題中的運用能夠幫助學生逐步獲得轉化聯(lián)想能力、觀察能力的提升，學生思維的深刻性、創(chuàng)造性也會因此獲得更好的發(fā)展. 不過，教師也須注意：第一，數(shù)形轉化前后的問題始終必須具有等價性;第二，“數(shù)”的精確性與“形”的全面性是解題過程中必須注意的. 比如判斷公共點個數(shù)這類問題的解決，只有圖形轉化后的“數(shù)”的精確性才能保障正確結論的獲得. 數(shù)形轉化中的有些圖形或許并不唯一，具體解決中應根據(jù)不同情況作出相應圖形并進行討論和求解.

培養(yǎng)直覺思維能力

數(shù)學直覺是人腦對數(shù)學問題做出的一種直接的領悟、洞察、類比與聯(lián)想，這種直接反映數(shù)學對象結構關系的心智活動形式在具體運用中應得到適當?shù)募庸?，將大腦中貯存的和當前問題相似的板塊在知識運用、直覺運用中進行聯(lián)結與領悟. 學生在解決新問題時對結論做出的迅速的領悟其實就是其具備數(shù)學直覺的具體表現(xiàn)，一般來講，數(shù)學教學中培養(yǎng)學生的直覺思維能力需要做到以下幾個方面：

1. 有目的地設計直覺時段. 根據(jù)教學內容與需要設計直覺時段能使學生順著知識發(fā)展的過程進行直覺想象和猜想，然后根據(jù)直覺想象和猜想進行邏輯驗證、合理推理與證實，學生在切實感受創(chuàng)新與成就的過程中往往能夠感受到振奮、愉悅的情感.

2. 引導學生猜想. 鼓勵學生在數(shù)學學習中大膽猜測并因此養(yǎng)成猜想的數(shù)學思維習慣，能幫助學生根據(jù)自己的直覺感受進行猜想、推理和驗證.

3. 注重教學的直觀性. 教學中提高直觀性能使學生在觀察、分析、推理中不斷訓練和發(fā)展能力.

4. 凸顯問題原型. 幫助學生在問題分析中凸顯問題原型并促使“原型問題”獲得衍生，能鍛煉與提升學生的創(chuàng)造能力.

例2：已知函數(shù)f（x）=1+x-■+■-■+…+■，g（x）=1-x+■-■+■-…-■，設F（x）=f（x+3）·g（x-3），且函數(shù)F（x）的零點都在區(qū)間[a，b]（a

分析：很多學生面對此題都覺得難度太大而無法突破，對分母與分子的字母的指數(shù)進行觀察，憑直覺發(fā)現(xiàn)，化簡f（x）與g（x）必須建立在求導的基礎之上，利用導數(shù)對函數(shù)的單調性、零點的存在性定理進行判斷并得出零點所在的范圍，這正是數(shù)學直覺思維能力參與后產生的結果.

解：f′（x）=1-x+x2-x3+…+x2010.

當x≤1時，f′（x）=（1-x）+x2（1-x）+…+x2008（1-x）+x2010≥0，當x>1時，f′（x）=1+（-x+x2）+（-x3+x4）+…+（-x2009+x2010）>0，因此f（x）為增函數(shù)，g′（x）=-f′（x）≤0為減函數(shù). 又f（-1）=1-1-■-■-■-… -■<0，f（0）=1>0，f（x）的零點在區(qū)間（-1，0）內. g（0）=1>0，g（1）=（1-1）+■-■+…+■-■>0，g（2）=（1-2）+■-■+…+■-■<0，g（x）的零點在區(qū)間（1，2）內.

因此，f（x+3）的零點在區(qū)間（-4，-3）內，g（x-3）的零點在區(qū)間（4，5）內，因此函數(shù)F（x）的零點都在區(qū)間[-4，5]之內，因此b-a的最小值是9.

培養(yǎng)邏輯思維能力

經(jīng)常啟發(fā)學生動腦筋、想問題能幫助其更好地養(yǎng)成勤于思考、善于思考的良好習慣和推理的意識，并因此使其更好地掌握推理的方法，使其邏輯思維能力不斷得到發(fā)展的同時獲得分析問題、解決問題能力的不斷發(fā)展. 一般說來，培養(yǎng)途徑不外乎以下幾個方面：

1. 比較和對照. 有意識地引導學生在比較和對照中進行分析和推理，能使學生在不斷的實踐中獲得區(qū)別能力和聯(lián)系能力的發(fā)展.

2. 抽象和概括. 幫助學生學會抽象和概括能使其更好地獲得從特殊到一般的歸納與概括能力.

3. 分析和綜合. 教會學生分析和綜合，能使其在正向思維和逆向思維的實踐中獲得思維提升.

4. 判斷和推理. 引導學生在判斷和推理中進行觀察、分析和思考，能使其邏輯思維能力和表達能力獲得同步發(fā)展.

例3：請比較0.20.3和0.30.2的大小.

學生面對此題一般都會聯(lián)想介值法，由0.20.3<0.20.2，0.20.2<0.30.2可得0.20.3<0.30.2.

例4：請比較nn+1和（n+1）n（n∈Z+）的大小.

分析：在此題的比較中，學生很快發(fā)現(xiàn)運用介值法行不通了，對其進行直接比較明顯難度更大，因此，首先可以進行特例的考察. n=1，2，3時，有12<21，23<32，34>43，無法判斷. 繼續(xù)考察n=4，5時，分別有45>54，56>65，繼而猜想nn+1>（n+1）n（n≥3）成立，此時對猜想的正確與否進行證明. 學生聯(lián)想數(shù)學歸納法證明此猜想，很快便有了結果.教師繼續(xù)引導學生，看是否有其他證明方法，師生共同努力，發(fā)現(xiàn)通過證明n>■■（n≥3）成立也能證明此猜想.

右邊=1+■■=1+C■■+C■■+…+C■■<1+■+■+…+■.

容易證明n！>2n（n>3），因此右邊<1+■+■+…+■<3-■<3（n>3），得證.

也有學生發(fā)現(xiàn)，證明（n+1）lnn>nln（n+1）一樣可行. 因為n≥3，因此只要證明■>■即可.

繼續(xù)觀察可知，證明函數(shù)f（x）=■為[3，+∞）上的減函數(shù)也是可行的. f′（x）=■<0在[3，+∞）上明顯是成立的，因此原命題得以證明解決. 總之，教師在傳授知識的過程中同樣要關注學生思維過程的發(fā)展，深入研究數(shù)學活動與數(shù)學思維的特點和規(guī)律，做到立足通法，兼顧巧法，使學生獲得更多啟迪與針對性的訓練，實現(xiàn)思維的進一步深化和發(fā)展.