高中數學解析幾何問題的解題技巧

徐海棠

(江蘇省鹽城市第一中學 224000)

一直以來，解析幾何問題都是高中數學考試中的重點考查內容，相較于代數問題，其具有更強的抽象性，很多同學在解答立體幾何問題時不能夠準確把握題目內容與基礎條件，不能夠靈活選擇相對應的解題方法與解題技巧.因此，下文主要是結合常見的集中立體幾何問題類型，提出相對應的解決方法，講解一些解題技巧，以供參考.

一、中點弦問題——幾何與代數相結合

“中點弦問題”是高中解析幾何問題體系中較為常見的類型，也是各學期、年段的期中考試、模擬考試與高考中最容易出現的問題形式之一，結合以往的解題經驗可以發現，在解析幾何中點弦問題中，使用坐標系，實現數形轉化是一種較為常用的解題技巧.很多時候，同學們在缺乏思路，不能夠很好地解題的時候，使用數形結合的方法往往能夠在較短的時間內找到解題的“切入點”.在解題過程中，可以分別把握幾何中作為一般軌跡的圓、圓錐曲線，結合坐標系，探索曲線的對應方程，以此掌握這些方程下的幾何性質.

例1 已知A、B是拋物線y2=4x上的兩點，弦AB的中點是M(2，1)，求弦AB所在直線l的方程.

所以直線l的方程是y-1=2(x-2)，即2x-y-3=0.

此外，關于“中點弦問題”，還可以使用其他的解題方法，具體還要結合題目中的基礎條件，以此提高解題正確率與解題效率.

二、軌跡方程問題——直接法

圖1

軌跡方程問題，就是與幾何軌跡對應的代數問題.一般情況下，能夠滿足一定條件的動點所形成的圖形的問題可以稱之為“軌跡方程問題”,或者是符合基礎條件的點的全體所組成集合相關問題，可以看做是“軌跡方程問題”.軌跡，可以從兩方面進行分析，一方面是在軌跡上的點都符合基礎條件，為軌跡的必要性；另一方面，是不在軌跡上的點都不符合已經設定的基礎條件，這叫做軌跡的充分性.在高中解析幾何問題的解題過程中，可以發現空間軌跡一般都是“曲面”，而平面軌跡一般都是曲線(如圖1).

關于軌跡方程，同學們可以通過“直接法”進行求解.所謂“直接法”就是在假設動點的運動條件符合幾何的等量關系的基礎條件下，同時基礎條件明確，不需要特殊的解題技巧，可以將幾何關系通過“x與y”體現出來直接得到軌跡方程.

圖2

在使用直接法時，要遵循以下思路，分別為：①建立坐標系；②設軌跡上的點P(x，y)；③列出動點P的相關關系式；④結合條件選用相應公式(斜率公式、距離公式)列出方程；⑤證明所求方程就是符合條件的P的軌跡方程.

例2 在平面直角坐標系中，已知點Q(2，0)，圓C：x2+y2=1，動點M到圓C的切線長度與|MQ|之比等于常數λ，且λ>0.求：動點M的軌跡方程，動點M的軌跡方程是什么曲線？

此時，就可以使用上述提到的“直接法”進行解題.

三、曲線問題——定義法解題

相較于上述的“中點弦問題”與“軌跡方程問題”，還存在一些幾何問題，這些幾何問題的基礎條件更加復雜，可以統稱為“曲線問題”，比如：拋物線問題、雙曲線問題、橢圓問題等.定義解題法主要就是在已經分析或者說明動點P的軌跡確實符合某種特殊曲線基本特征之后，求出特殊曲線的相關參量數值，最終得到軌跡方程.

例3 已知兩點A(-8,0)、B(8,0)為△ABC的兩個頂點，AC與BC兩邊的中線長的和為30，求△ABC的重心軌跡方程.

總之，解析幾何問題難度較大，且題型復雜多變，在解題的過程中往往需要運用到大量的基礎知識，比如：函數相關知識、坐標相關知識、向量知識等，還需要能夠結合不同類型的解析幾何問題，選擇合適的解題方法，比如：數形結合、直接法、定義法、減少計算量”原則等，從而提高解析幾何的解題效率，幫助同學們掌握解析幾何解題技巧.