三招破解以三角形為背景的多元變量最值問題

孫 磊

(江蘇省無錫市第三高級中學 214000)

眾所周知，求解多元變量最值問題的關鍵在于減少變元，我們可以從三角、形、數三個角度尋找突破口.

分析這道題含有A，B，C三個變量，解決本題的關鍵在于如何將已知條件2sin2A+sin2B=2sin2C轉化成tanC=3tanA，并且將tanB也用tanA來表示.

方法1 邊角互化

∵2sin2A+sin2B=2sin2C,

∴2a2+b2=2c2.

在△ABC中，a2=b2+c2-2bccosA，代入上式，

∴3b=4ccosA，

即3sinB=4sinCcosA。

在△ABC中，sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,代入上式，

∴3sinAcosC=sinCcosA，

∴tanC=3tanA.

原式

點評以三角函數的化簡作為突破口，通過邊角互化實現減少變元，過程流暢自然，但是需要有較強的三角運算功底，如果三角公式不能熟練應用，這種方法對學生來說有時候會有一定難度.

方法2斜化直

過點B作BD⊥AC，交AC于D.

設BD=h，AD=x，CD=y

在Rt△BDC中a2=h2+y2，在Rt△BDA中c2=h2+x2，b=x+y.

∵2sin2A+sin2B=2sin2C,

∴2a2+b2=2c2.

∴2(h2+y2)2+(x+y)2=2(h2+x2)2,

∴x2-2xy-3y2=0，即(x+y)(x-3y)=0,

∴x=3y.

∴3tanA=tanC.

以下解法同法1

點評用構造直角三角形來表示三角函數是一種非常直觀的化簡方式，這種方法的解題關鍵是要在代數運算的過程中消去中間變量h，然后找到三角形的邊或者角的內在關系.

方法3建系設點

∵2sin2A+sin2B=2sin2C,

∴2a2+b2=2c2,

∴AD=3CD,即3tanA=tanC.

以下解法同法一.

點評通過建系設點，數形結合思想確定動點軌跡，將三角問題轉化成函數求最值問題是解決這類題目的一個新視角，其難點在于如何建系，尋找哪個點的軌跡作為突破口.

例2在△ABC中，A,B,C所對的邊分別是a,b,c，已知sinA+sinB+μsinAsinB=0，且a+b=2c，則實數μ的取值范圍是____.

方法一邊角互化

∵a+b=2c，

∴sinA+sinB=2sinC.

方法二斜化直

直過C作CD⊥AB，交AB于D，設CD=h，BD=x,AD=c-x.

又∵a+b=2c,

∵μ<0,

方法3建系設點

以AB中點為原點，AB為x軸，AB的中垂線為y軸如圖建系.

設C(x,y),∵a+b=2c，即CA+CB=2c,

∴C的軌跡是以A,B為焦點，2c為長軸的橢圓.

∵sinA+sinB+μsinAsinB=0.

上面兩個例題用三種方法都能解決，但不是所有類似問題都能同時用這三種方法解出.斜化直的方法利用構造直角三角形表示出三角函數，這個過程會產生一個中間變量h，只有當已知等式是齊次式才有可能消去中間變量，否則這種方法就行不通.建系設點的方法歸根結底是用代數方法求最值，因此已知條件必須含有長度關系或者已知的三角關系能夠轉化成長度關系，否則這種方法就行不通.邊角互化的方法應該是適用范圍最廣泛的一種方法，在使用這種方法解題的時候需要明確化簡方向，熟悉三角公式.總之，同學們在做這類題目的時候，應該先觀察題目的特點，結合自身知識儲備選擇合適的方法.