函數極值點偏移問題的推廣

張治國

(山東省濟南市歷城第二中學 250100)

本文從導函數的凹凸性的這一函數的重要性質出發，對一個與函數有關的不等關系進行了猜想與嚴格的證明，借助高等數學微積分理論中的拉格朗日中值定理，對函數極值點偏移的定義進了一般推廣.

一、一個與函數有關的不等關系的猜想與證明

為了敘述方便，本文中所給出的函數f(x)在定義域上為連續且可導的函數.

設f(x)為定義在區間I上的函數，f′(x)為f(x)的導函數，取I上的任意兩點x1,x2;

(1)若f′(x)為嚴格凸函數，則有如下不等關系：

(2)若f(x)為嚴格凹函數，則有如下不等關系：

1.不等關系的幾何解釋

以公式一為例：

首先給出凸函數的一條重要的幾何性質：若f(x)為凸函數，則其曲線總是在它的任意切線上方.

設f′(x)為函數圖象在第一象限上的嚴格凸函數，大體圖象如下：

設梯形ABCD的面積為S1,梯形BDGF的面積為S2,曲邊梯形ABCD的面積為S.根據定積分的幾何意義,有S=f(x2)-f(x1).通過幾何直觀，有如下不等關系：

從上述的推導過程，可以得到公式一的幾何解釋.下面我們從理論上對公式一進行證明.

2.理論證明

下面從嚴格凸函數的定義出發，給出公式一的理論證明.

上述推導過程，借助高等數學微積分中有關凹凸函數的定義與性質進行了詳細的證明.

二、函數極值點偏移問題的推廣

結合拉格朗日中值定理由公式一與公式二，可以得到以下不等關系：

設f(x)為定義在區間I上的函數，f′(x)為f(x)的導函數，取I上的任意兩點x1,x2;

若f′(x)為嚴格凸函數，則有如下不等關系：

若f′(x)為嚴格凹函數，則有如下不等關系：

函數極值點偏移的定義是公式三與公式四的特殊形式.類比極值點偏移的定義，根據拉格朗日中值定理與公式三、公式四，我們可以將極值點偏移的定義大膽地進行一般推廣，即一般偏移.下面給出一般偏移的定義.

導數既是高中數學函數部分的延續.對高考導數壓軸題的研究，不僅僅要研究解法與技巧，更重要的是研究題目的背景與命題來源.借助高等數學中的微積分理論，能夠為高考導數壓軸題的研究提供新的視角.