三角形在圓錐曲線中的地位和作用

吳俊威

摘要：圓錐曲線是高考的重要考查部分，而三角形在圓錐曲線中無處不在，善于運(yùn)用三角形的有關(guān)性質(zhì)、定理來解決圓錐曲線的有關(guān)問題，有時(shí)能夠快速的、高效的解決圓錐曲線問題，達(dá)到事半功倍的目的。

關(guān)鍵詞：三角形;圓錐曲線;性質(zhì)定理;核心素養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1992-7711（2020）16-092-2

眾所周知，圓錐曲線是解析幾何的重要部分，在高考中占有較大的分量，解析幾何是數(shù)與形的結(jié)合，可以用坐標(biāo)表示圖形，用坐標(biāo)的運(yùn)算解決圖形的運(yùn)算，但這并不代表所有的問題都可以用坐標(biāo)的運(yùn)算解決，有些同學(xué)在解題的過程中不注意分析圖形特點(diǎn)，不管什么問題都喜歡用設(shè)點(diǎn)、設(shè)直線等的方法，用坐標(biāo)的方法解決問題，這樣有些會(huì)越算越復(fù)雜，最后解決不了問題。而事實(shí)上很多圓錐曲線問題用坐標(biāo)運(yùn)算并不簡(jiǎn)單，而是要分析題目，有些問題還是要用最基礎(chǔ)的圖形運(yùn)算更好解決問題。而圖形運(yùn)算的工具中，三角形是最基本最簡(jiǎn)單，通常也是最有效的工具。在高考中，以三角形作為載體的考查是相當(dāng)多的，它一般存在于三個(gè)板塊：解三角形、立體幾何和解析幾何，而本文著重論述三角形在圓錐曲線中的地位和作用，三角形在圓錐曲線中無處不在，它直接考查我們的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。我們應(yīng)結(jié)合三角形的各種性質(zhì)、定理，對(duì)問題和圖形認(rèn)真分析，當(dāng)我們能夠熟練運(yùn)用三角形這些性質(zhì)、定理，解決圓錐曲線的有關(guān)問題時(shí)，就能達(dá)到事半功倍的目的。下面通過三個(gè)方面去說明：

一、利用三角形的全等、相似和比例性質(zhì)解決圓錐曲線問題

1.利用三角形全等解題

例1：已知F為雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的一個(gè)焦點(diǎn)，其關(guān)于雙曲線C的一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)在另一條漸近線上，則雙曲線C的離心率為（）

（A）2（B）3（C）2（D）5

分析：此題容易產(chǎn)生一種比較麻煩的解法：點(diǎn)F（c.0）關(guān)于準(zhǔn)線y=bax的對(duì)稱點(diǎn)為P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可用a、b、c表示，然后把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入另一條準(zhǔn)線y=bax上，這樣就得到一條有關(guān)a、b、c的關(guān)系式，化簡(jiǎn)后可得離心率。這種方法雖然思路簡(jiǎn)單，但是要求點(diǎn)F的對(duì)稱點(diǎn)P有點(diǎn)困難，一不小心就會(huì)算錯(cuò)，或者有些根本求不出。但我們從△POF中分析不難得出△OFQ≌△OPQ，從而有∠FOQ=∠POQ，又兩條漸近線的斜率是互為相反數(shù)，所以有∠FOQ=∠POE，∴有∠FOQ=∠POQ=∠POE=60°，∴有tan∠FOQ=ba=tan60°=3，也即b2a2=c2-a2a2=3，可得離心率e =2?? ∴選C，明顯后面這種解法計(jì)算量少得多，解題過程簡(jiǎn)潔得多。當(dāng)然這里要求我們要有一定觀察能力、對(duì)圖形的分析能力，和對(duì)性質(zhì)的熟練掌握，是要有一定的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。

2.利用三角形比例性質(zhì)解題

例2：過拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F作斜率大于0的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)（A在B的上方），且l與準(zhǔn)線相交于點(diǎn)C，若CB=4BF，則︱AF︱︱BF︱=（）

A.53B.52C.3D.2

分析：過B作BE⊥準(zhǔn)線于E，AD⊥準(zhǔn)線于D，設(shè)BF=m，則BC=4m，由拋物線的定義知BE=BF=m，設(shè)AF=AD=x，由BE//AD可得BEAD=CBCA，即mx=4m5m+x，解得x=5m3，所以AFBF=53，選A.

通過上面二個(gè)例子，我們可以看出，運(yùn)用三角形的有關(guān)全等、相似和比例等性質(zhì)來解圓錐曲線的有關(guān)問題，特別是小題，有時(shí)會(huì)很簡(jiǎn)單、簡(jiǎn)潔，有時(shí)甚至是秒殺的速度，當(dāng)然上面二題也可以用設(shè)直線的方法做，但是難度會(huì)增加。

二、利用三角形的的有關(guān)性質(zhì)解題

例3：橢圓x225+y216=1的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，弦AB過F1，若△ABF2的內(nèi)切圓周長(zhǎng)為π，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），則︱y1-y2︱的值為（）

A.53B.103C.103D.53

分析：此題涉及三角形內(nèi)切圓問題，而內(nèi)切圓的性質(zhì)是：內(nèi)切圓圓心到三條邊的距離相等，考慮所求的問題是︱y1-y2︱的值，由此我們要聯(lián)系到三角形面積的計(jì)算問題，三角形面積的有關(guān)內(nèi)切圓計(jì)算方法是S△ABC=12r（AB+BC+AC），其中r為內(nèi)切圓半徑，而此三角形ABC的邊經(jīng)過了兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，根據(jù)橢圓定義有AB+BC+AC=20，而內(nèi)切圓周長(zhǎng)為π，所以半徑r=12，所以S△ABC=12×12×20=5，而另一方面S△ABC=12×︱F1F2︱·︱y1-y2︱=12×6·︱y1-y2︱，所以可得︱y1-y2︱的值為53，選A.這里是三角形內(nèi)切圓性質(zhì)的其中一個(gè)的應(yīng)用，當(dāng)然內(nèi)切圓其他性質(zhì)的應(yīng)用也是很常見的，比如：圓外一點(diǎn)到到圓的兩條切線長(zhǎng)相等，內(nèi)心與各頂點(diǎn)的連線平分每個(gè)內(nèi)角等等。

三、利用三角形的正弦定理、余弦定理解圓錐曲線問題

1.利用正弦定理解題

既然在圓錐曲線中有很多的三角形，那我們當(dāng)然可以利用解三角形的知識(shí)解決問題，運(yùn)用勾股定理、正弦定理、余弦定理等解題，這也是我們解題常見的，而有些甚至可以利用這些定理去得出一些二級(jí)結(jié)論，這對(duì)于解題也大有幫助。比如橢圓的焦點(diǎn)三角形問題，教材中我們最常見的就是利用正弦定理或余弦定理結(jié)合橢圓、雙曲線的定義進(jìn)行解題，而事實(shí)上還可以得出一些好用的結(jié)論，如：在橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，F(xiàn)1，F(xiàn)2是焦點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，設(shè)∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，∠F1PF2=θ，由正弦定理F1F2sinθ=PF2sinα=PF1sinβ=PF2+PF1sinα+sinβ，而F1F2=2c，PF1+PF2=2a，所以2csinθ=2asinα+sinβ，即e=ca=sinθsinα+sinβ，也就是說，如果知道了焦點(diǎn)三角形的三個(gè)內(nèi)角（實(shí)際上知道兩個(gè)就可以了），那么橢圓的離心率就很快求出了，這是橢圓的定義與正弦定理的結(jié)合應(yīng)用。如果是雙曲線，只需要把式子改動(dòng)一下就可以了：e=ca=sinθ︱sinα-sinβ︱，它的應(yīng)用也是類似的。看一個(gè)例子：

例4：（2013全國(guó)2卷理11）已知F1，F(xiàn)2，是雙曲線E：x2a2-x2b2=1（a>0，b>0）的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1=13，則雙曲線E的離心率為（）

A.2B.32C.3D.2

分析：sin∠F1MF2=cos∠MF2F1=223，sin∠MF1F2=sin90°=1，所以離心率e=sin∠F1MF2︱sin∠F1MF2-sin∠MF2F1︱=2231-13=2，這樣不用邊的關(guān)系就可求出離心率，簡(jiǎn)化了邊角轉(zhuǎn)換的問題，從而使運(yùn)算簡(jiǎn)化。

2.利用余弦定理解題

例5：（2019課標(biāo)1，10有改動(dòng)）已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），過F2的直線與C交于A、B兩點(diǎn)，若|AF2|=2|F2B|，|AB|=2|BF1|，求C的方程.

分析：條件只有c=1，由題意知，線段的關(guān)系都在△ABF1中，并且都跟兩焦點(diǎn)有關(guān)，所以這也是一個(gè)典型的焦點(diǎn)三角形問題，根據(jù)線段長(zhǎng)的關(guān)系，可以設(shè)|F2B|=m，則|AF2|=2m，|BF1|=3m，而由橢圓定義知|AF1|=2m，要求出m的值，就必須要有方程，考慮△ABF1中，各邊都可以用m表示，且|F1F2|=2，所以可用余弦定理得方程，在△ABF1中，cosB=（3x）2+（3x）2-（2x）22·3x·3x=79，而在△BF1F2中，cosB=（3x）2+x2-222·3x·x=79，解得x=32，所以2a=23，a=3，b2=2，所以橢圓的方程為x23+y22=1.? 由此可知，熟練掌握正弦定理和和余弦定理解三角形對(duì)解決圓錐曲線問題有重要的作用，它能建立起三角形邊與角的橋梁，也能夠快速得到有關(guān)方程，通過解方程進(jìn)而能快速解決圓錐曲線問題。

通過上面的三個(gè)方面論述，我們可以看出三角形在圓錐曲線中占有重要的地位，那我們只有充分掌握三角形的性質(zhì)、定理，包括全等、相似和比例性質(zhì)，才能靈活掌握解三角形的有關(guān)問題，也就是能快速、有效的解決圓錐曲線的問題。其中問題一和問題三，主要說明利用三角形的有關(guān)性質(zhì)定理能夠快速解決圓錐曲線的有關(guān)問題，這個(gè)主要反映在小題當(dāng)中;問題二，主要說明利用三角形的有關(guān)性質(zhì)定理能夠?qū)A錐曲線的有關(guān)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，尋求解題的思路和方法，這個(gè)主要反映在大題中。所以，如果能夠熟練掌握以上的解題技能，對(duì)我們提高圖形分析、邏輯推理、直觀想象、和數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有很大的幫助，最終提高高考數(shù)學(xué)解題能力。

[參考文獻(xiàn)]

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[3]曲一線，5年高考3年模擬[M].北京：首都師范大學(xué)出版社，2020.

（作者單位：廣東省韶關(guān)市翁源縣翁源中學(xué)，廣東 韶關(guān) 512600）