新工科大學數學科教融合教學模式探索與實踐

王德華 付鈺琛 薛鵬翔 朱雅敏 宋達霞

[摘 要] 在新工科背景下，針對目前工科數學教學面臨的理論與實踐嚴重脫節的這一問題，以線性代數中特征向量的計算為例，結合最新科研成果，對大學數學教學模式創新進行了深入探索，提出了科教融合的大學數學教學新模式，為新工科大學數學教學模式改革提供一條新思路。通過教學實踐證明，科研育人理念可以為課堂教學注入新的活力，激發學生學習的積極性，實現學以致用的教學目的。

[關鍵詞] 新工科;大學數學;科研育人;問題導向;教學模式

[基金項目] 西安工業大學教改項目“面向新工科人才培養的工科數學教學模式探索與實踐”（18JGY08）;“‘互聯網+背景下的復變函數與積分變換教學改革研究”（19JGY32）;西安工業大學校長基金項目“‘模型與數據驅動的圖像超分辨率重建方法研究”（XAGDXJJ17026）;“基于灰色系統理論的陜西省農村居民收入的預測分析”（XAGDXJJ18026）

[作者簡介] 王德華（1980—），男，山西河曲人，工學博士，西安工業大學理學院講師（通信作者），研究方向為應用數學教學;付鈺琛（1998—），女，陜西西安人，西安工業大學數學與應用數學專業本科生。

[中圖分類號] G642 ? ?[文獻標識碼] A ? ?[文章編號] 1674-9324（2020）39-0315-03 ? ?[收稿日期] 2020-03-27

一、引言

在新工科背景下，工科數學教學的基本任務是為培養“新工科”工程技術人才服務，這就對工科學生的數學能力提出了更高的要求[1]。隨著現代科學技術的迅猛發展，數學本身呈現出一個明顯的發展趨勢——以問題為導向、多學科交叉融合，但是，從目前的情況來講，工科數學教學面臨的主要問題是理論與實踐嚴重脫節、學科之間相對孤立、以老師講—學生聽為主的單一授課模式與“新工科”人才培養的客觀要求之間的矛盾[2]。

科研育人理念是將科研與教學相融合的一種新型的育人理念和人才培養模式，可以引領高校教師創新改革傳統的教學模式，同時吸引和鼓勵學生以問題為導向，開展研究性學習，喚起學生對知識探求的好奇心，以激發學生的創新精神、培養學生的創新思維和能力[3，4]。

黨的十九大明確指出，創新是引領發展的第一動力，是建設現代化經濟體系的戰略支撐。科學研究是創新的源泉，高等院校是科學研究的前沿陣地，因此，科研育人理念是高校培養創新型人才的突破口，突破了傳統教學模式中教學與科研分離，將知識傳授與知識創造進行有機融合，為創新型人才培養提供了重要保障。然而，很多高校教師在實際教學中往往割裂了二者，沒有真正認識到科教融合的重要性。

本文以文獻中的最新研究成果——線性代數中特征向量的計算這一問題為切入點，對大學線性代數教學模式的改革創新進行了深入討論[5]。論述了新工科背景下，如何將教學與科研有機融合，嘗試探索一種基于科研育人理念的大學數學教學新模式。

一、傳統的特征向量計算方法

（一）特征向量的求解

（二）利用上述方法求解特征向量的局限性

利用上述方法求解特征向量的主要困難在于解線性方程組。而在解決實際問題的過程中，由于先驗信息的缺失，導致所求解的方程組往往是未知量個數大于方程個數（即方程組有無窮多解）的大型方程組。在求解過程中會遇到如下困難：（1）計算量大;（2）大型方程組的求解，需要通過數值解法來實現，如果數值解法選取不當，會導致計算結果不穩定，甚至可能得到錯誤的解。

二、最新研究成果中解特征向量的計算方法

（一）成果背景

2019年8月，三位科研人員在做關于“中微子”的物理實驗時，在計算中微子的振蕩概率時發現了求解特征向量的一個新公式，即只需知道特征值，利用特征值列出一個簡單的方程，即可得到特征向量。同時，加利福尼亞大學洛杉磯分校數學系教授陶哲軒利用兩種方法證明了該公式的正確性[5]。這一成果從理論上揭示了線性代數中新的事實，在不久的將來，教科書也有可能因之而改革。在實際應用中，很多重要工程問題如機器學習、數據降維、人工智能等領域都有著十分廣泛的應用前景。

（二）計算公式

通過刪除原始矩陣的行和列，建立子矩陣，將原始矩陣和子矩陣的特征向量結合在一起，就可以計算出原始矩陣的特征向量。簡言之，已知原矩陣和其子矩陣的特征值，利用引理2中的一個簡單方程式就可以求得原矩陣的特征向量。

（三）利用新方法求解特征向量的特點

通過建立子矩陣，求解子矩陣特征向量，將子矩陣特征向量和原矩陣特征向量結合在一起計算原始矩陣的特征向量，簡化了計算，避免求解病態方程組，從而提高了效率與準確率。

三.科教融合的大學數學教學模式探索與實踐

上述關于特征向量計算的研究成果，對線性代數的基礎理論進行了創新，這一案例告訴我們，科學研究是理論創新的源泉，問題驅動與學科交叉是創新的動力。在新工科背景下，要培育出具備創新能力的高端人才，就必須將科研育人理念融入課堂教學實踐，從問題中來、到問題中去，最終實現科教相長、學以致用。

（一）問題導向的教學模式探索

問題導向的教學方法是一種以學生為主體，以專業領域內的各種問題為切入點，讓學生在解決問題的過程中理解并掌握所學理論知識的教學方法。問題驅動教學方法能夠提高學生學習的主動性，提高學生在教學過程中的參與程度，有助于提高學生學習的積極性，激發學生的創新思維。

本文提出“發現問題—提出問題—分析問題—解決問題”的課堂教學思路。第一步是發現并提出問題。教師可以通過對科研活動中問題的總結，針對某所學知識提出相關的問題，引入所學內容，促使學生對該部分知識進行系統性學習。改變傳統課堂將知識“塞”給學生的形式，讓學生自己主動去“拿”。第二步是分析問題。通過對所提出問題的深入分析，找到與所學知識的銜接點，通過對具體問題進行總結、歸納，將實際問題提煉或抽象為所學的數學問題。第三步是解決問題。將所學知識點融入到解決問題的過程中，在問題得到解決之后，按照從具體到一般的思維方式，抽象出所學的數學理論、方法。第四步，應用舉例。從應用問題中找合適的例子，將所學理論知識應用于實際問題的解決，進一步加深對所學知識本質的理解，并且能夠運用所學知識解決實際問題。

問題導向的教學模式需由問題驅動，從問題中來、到問題中去，是喚起學生好奇心，激發學生潛能與興趣，培養學生創造性思維的一種有效途徑。

（二）基于科研訓練的課程體系構建

課程體系是課程的組織架構，是實現大學培養目標的關鍵所在。如何將問題導向的教學模式成功地運用于教學實踐的一個必要條件是構建科學合理的課程體系。本文將科研訓練融入大學數學課程體系，融入大學課堂教學實踐，形成科教融合的大學數學課程新體系。

將科研訓練融入大學數學課程體系的方案如下：大一年級開設基于科研項目的通識選修課，結合學生的興趣與所學專業，選擇相應的項目基礎課程，培養學生發現問題、提出問題的能力，找到與所學數學課程的契合點;大二年級開設相關的專業能力提升項目課程，主要培養學生分析問題的能力;大三年級開設基于設計、實現的項目課程，培養學生運用所學知識解決問題的能力;大四開設基于多學科交叉應用的項目課程，培養學生綜合運用所學知識解決實際問題的能力。

科研訓練的具體措施分為四步，第一步是從科研過程中提出問題。問題的提出，并不需要刻意為之，研究過程中必然會存在這樣或那樣的問題。第二步是選擇在科研活動中總結合適的問題。問題的提出關鍵不在于尋找問題，而是總結問題，即在問題中選擇出適合學生的，能夠激發學生學習興趣，并且能與學生現階段所學知識進行銜接的問題點。第三步，對學生進行分組。由學生選擇情況對學生進行分組，明確任務目標，對小組下達任務書，提出任務達標要求，第四步定期開展研討。定期與學生進行討論，予以指導。同時，對學生的創新點予以肯定和總結。

通過科研訓練，將基于項目的課程逐級融入到大學數學的教學過程中，實現從知識接受到知識創造的跨越，最終形成學用一體的大學數學課程新體系。

四、結束語

在新工科建設的背景下，基于科研育人理念，提出“發現問題-提出問題-分析問題-解決問題”的大學數學教學模式，構建基于科教融合的大學數學課程新體系。對本文提出教學模式的進一步探索與實踐，可以解決目前很多高校仍沿用的“滿堂灌”的單一教學模式存在的問題，引導學生多元化發展，培養學生的創新能力。

參考文獻

[1]劉金磊，趙晶.新工科背景下理科人才培養的思考[J].教育教學論壇，2019（25）：230-231.

[2]魏楚亮，吳濤，康全禮.問題創設及導向的新工科實踐環節教學研究[J].高等工程教育研究，2019（6）：36-42.

[3]萬里鷹，萬紫涵.科研育人對大學生創新能力和素質提升的研究[J].大學教育，2017（2）：145-146.

[4]曾勇，黃艷，向桂君，等.從新生項目課開始：新工科建設“成電方案”的設計與實踐[J].高等工程教育研究，2020（1）：14-19.

[5]Denton P B，Parke S J，Tao T，et al.Eigenvectors from eigenvalues：a survey of a basic identity in linear algebra[J].arXiv preprint arXiv：1908.03795，2019.

[6]北京大學數學系前代數小組，王萼芳，石生明.高等代數（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2013：290-298.