解析突破，思維導引，教學微設

陳宣新

[摘? 要] 在教學中需要借助考題來提升學生的綜合能力，解析幾何題能夠全面考查學生的知識水平和思維能力.解析幾何題的綜合性較強，建議采用思路呈現、繪制思維導圖、教學微設計的方式，通過設問引導，問題拆解來還原解題過程，文章以一道解析幾何考題為例開展解題教學探討.

[關鍵詞] 解析幾何;綜合;平行四邊形;思維導圖;思維

解析幾何是高中數學的核心內容，也是高考壓軸題的命題點，常以綜合題的形式出現. 筆者認為提高學生解決解析幾何問題的能力，應從解題策略講解入手，幫助學生形成正確的解題思維. 因此在考題教學中應立足問題考點，解構問題思維，開展問題反思，提煉數學思想.下面以一道解析幾何考題為例進行探究.

考題呈現

例題：已知橢圓C的解析式為9x2+y2=m2（m>0），直線l不經過原點O，且不與坐標軸相平行，設直線l與橢圓C的兩個交點分別為A和B，點M為線段AB的中點，試回答下列問題.

（1）連接OM，試證明直線OM的斜率與直線l的斜率之積為定值.

（2）設直線l經過點■，m，延長線段OM，設與橢圓C的交點為點P，試分析四邊形OAPB能否為平行四邊形？如果能，請求出此時直線l的斜率;如果不能，請說明理由.

思路突破

第（1）問求證直線OM和l的斜率之積為定值，突破難點有兩個：一是直線l的方程未知，二是點M的坐標未知.考慮到點M與點A和B的坐標相關，而點A和B是直線l與橢圓C的交點，因此問題實質就是研究直線與橢圓的相交問題，常用的策略是設而不求，韋達定理簡化.因此求解時可以按照如下思路進行：首先設出直線l的方程，然后聯立直線l與橢圓C的方程，方程的解就是點A和B的橫坐標值，然后利用韋達定理構建點M的坐標，從而求出直線OM的斜率，最后對兩直線斜率之積進行化簡即可.

設直線l的方程為y=kx+b（k和b均不為0），點A（x1，y1），B（x2，y2），則點M■，■. 聯立直線l與橢圓C的方程：y=kx+b，9x2+y2=m2，消去y，整理可得（k2+9）x2+2kbx+b2-m2=0，結合韋達定理，xM=■=■，yM=kxM+b=■.直線OM的斜率可表示為-■，所以兩直線的斜率之積kOM·k=-■·k=-9，即直線OM的斜率與直線l的斜率之積為定值-9.

第（2）問分析四邊形OAPB能否為平行四邊形，其中點A和B為對頂點，而點P為OM延長線與橢圓的交點，分析時需要以平行四邊形的判定定理為依托，構建與點坐標相關的條件，然后分析條件是否成立，即采用“先假設，后論證”的思路.

分析平行四邊形的判定定理，可將定理歸為三類：一是僅與平行相關;二是涉及線平行和相等;三是對角線相互平分.考慮到解析幾何的問題特點，從點坐標角度來看分析四邊形的對角線是否相互平分更為容易. 因此可以按照如下思路求解：設出點P的坐標，根據“對角線相互平分的四邊形為平行四邊形”的判定定理可得與坐標相關的條件，然后聯立直線OM與橢圓C的方程，分析是否存在這樣的直線OM.

設點P的坐標為（xP，yP），若四邊形OAPB為平行四邊形，則AM=BM，PM=OM，其中點M為AB的中點，則只需求證點M為線段OP的中點即可.轉化為坐標則必須滿足xP=2xM. 聯立直線OM與橢圓C的方程：y=-■x，9x2+y2=m2，可解得xP=■. 將點■，m代入直線l的方程中，可解得b=■，結合（1）問可知xM=■=■，于是有■=■，從而可解得k1=4-■，k2=4+■.所以當直線l的斜率為4-■或4+■時，四邊形OAPB為平行四邊形.

解后反思

上述是以橢圓與直線相交為背景的解析幾何綜合題，問題分為兩問，求證斜率之積是否為定值、探究四邊形是否為平行四邊形. 完成思路突破后還需引導學生對其進行反思，總結解題突破口，構建思維導圖，形成系統的解題思路.

1. 挖掘問題缺口

兩問均是解析幾何常見的問題類型：定值問題和存在性問題. 問題以橢圓的方程為背景，求證兩直線的斜率為定值，需要依托點的坐標來構建直線的斜率，故解題的突破口是聯立直線與橢圓的方程，根據韋達定理來轉化出點M的坐標;而第（2）問求證四邊形為平行四邊形，其判定定理有很多，難點在于如何選用定理及簡捷提取成立條件，故解題的突破口是根據解析幾何問題的點坐標特性，從對角線平分中提取與坐標相關的條件.

2. 構建思維導圖

從解題過程來看，運算過程較為簡潔，實則是問題分析充分到位，所構思路清晰，取得了直切主體的效果. 因此求解解析幾何問題時需要重點關注解題思路的構建，在解題教學中需要構建相應的思維導圖，利用圖式來引導學生思考問題，培養學生正確的解題思維.以上述考題的兩問為例，可以構建圖1所示的思維導圖.

教學微設計

解題教學中需要利用考題的代表性來指導學生掌握問題的分析方法，形成相應的解題思維，除了可以構建相應的思維導圖外，還可以基于考題進行教學微設計. 微設計的過程中需要對考題進行拆解，逐步引導學生思考，掌握合理的分析步驟.

環節（一）——審題讀題，信息處理

已知橢圓C的解析式為9x2+y2=m2（m>0），直線l不經過原點O，且不與坐標軸相平行，設直線l與橢圓C相交于點A和B，點M為線段AB的中點，根據題干信息來繪制草圖.

意圖與分析：該環節主要是引導學生來提取題干中的關鍵信息，根據信息來繪制草圖，充分理解題干的信息條件，也是為后續數形結合輔助思考打下基礎，這也是解析幾何問題常用的解析策略.

環節（二）——拾級而上，引導審問

設直線l的方程為y=kx+b（k和b均不為0），點A（x1，y1），B（x2，y2），試回答下列問題.