測量二次電子空間分布特征矩陣法的有效性分析

孫曉陽，溫凱樂，王鵬程，劉瑜冬，黃 濤，劉盛畫，劉渭濱，董海義

(1.中國科學院 高能物理研究所，北京 100049；2.散裂中子源科學中心，廣東 東莞 523803；3.中國科學院大學，北京 100049)

目前材料二次電子角度分布一般采用理論模擬及實驗測量的方法進行研究。在理論模擬方面，大多采用唯象模型及蒙特卡羅模擬的方法進行計算分析[12-13]。而在實驗測量方面主要采用3種方法進行測量：1) 能譜儀法[14]，該方法的優點是可測量得到某一能量區間內的角度分布情況，但電子槍和樣品旋轉會引入較大實驗誤差；2) 位置靈敏探測器法[15]，其基本原理是給探測器背面上的高阻層加高電壓，測量輸出信號的幅度得出探測粒子的位置，其缺點是位置靈敏探測器加工工藝要求較高，物理結構和電子學系統復雜，且信號處理需要的放大器易引入較大噪聲，影響測試數據的準確性；3) 移動相對位置探測器法[16]，其優點是在測量范圍內二次電子空間分布測量精度較高、計算過程簡單，但二次電子發射角度分布測量的角度范圍(20°～60°)較小，實驗過程中移動樣品臺也會引入一定的實驗誤差。為精確測量二次電子角度分布，同時增大材料二次電子角度分布測量范圍，避免移動樣品臺帶來的實驗誤差，本文提出一種測量材料二次電子發射角度分布的新方法。

1 設計結構與實驗方法

1.1 設計結構

二次電子空間分布測量裝置結構示意圖如圖1所示，其由電子槍、樣品臺、柵網、四分之一球面收集極、半球形收集極、轉動結構等組成。其中電子槍用于提供不同能量的一次電子束流，并垂直入射在樣品臺上，產生二次電子束。樣品臺用于固定樣品，其上表面的圓心與收集極的球心相重疊，且上表面法線方向與一次電子入射方向平行。半球形探測器外部采用3層結構，且球心相互重疊。最內層為柵網，在柵網及樣品臺上施加零電壓，通過使用運算放大器的虛短效應，使柵網和樣品臺間接接地，這樣可保證柵網和樣品臺0 V電勢，一次電子入射及二次電子產生的過程是發生在等電勢環境下，避免收集極上的電壓對該過程產生干擾，同時還能測量其電流。中間層為帶旋轉機構的四分之一球面收集極，空間張角為π，且施加+50 V的偏壓，以確保對二次電子的收集效率，且該結構可沿轉動軸轉動，轉動步長可調，從而滿足出射二次電子角分布的測量精度。最外層為半球形收集極，空間張角為2π，該半球位置固定，不可旋轉，且施加有與四分之一球面收集極相等的電壓，該結構用于平衡柵網外的電場分布，避免因四分之一球面收集極上正電壓的吸引作用，將其他角度出射的二次電子收集，從而導致角度分布測量不準，同時該半球形收集極結構也可用于收集其余部分的二次電子，并與四分之一球面收集極獲得的測量結果進行比對、修正，從而進一步驗證該系統的測量準確性。轉動結構的轉動軸位于樣品臺上表面的延展面上，且與收集極的球心相交，同時轉動結構與兩層收集極均相互絕緣，以避免影響收集極對出射二次電子的收集范圍。

圖1 二次電子空間分布測量裝置結構示意圖Fig.1 Structural diagram of secondary electron spatial distribution measurement device

1.2 實驗原理

本方法測量的二次電子的角分布僅為一次電子垂直入射下的角分布，且測量的樣品表面各向同性。通過對稱性可知，出射二次電子在φ方向是旋轉對稱的，僅在θ方向存在差異，且出射二次電子僅分布在樣品臺的上半平面。因此本方法假設出射二次電子在φ方向是不變的，僅測量其在θ方向的角分布。

通過自由度分析可知，當四分之一球面收集極沿y軸旋轉的最小步長為90°/n時，可測量得出的出射二次電子沿θ方向的角分布的最小精度也為90°/n。因此，可將出射二次電子的空間角分布沿θ方向劃分為n個區域，如圖2所示。

圖2 區域劃分示意圖Fig.2 Schematic diagram of regional division

假設最終測量得出的角分布為矢量R，則R滿足：

(1)

其中：rα為在θ=α·90°/n(α=1，2，3，…，n)區域內單位角度二次電子電流。則當四分之一球面收集極的轉動角度為θ′=β·90°/n時，四分之一球面收集極上測量到的二次電子電流是由每個區域電流相加得到，而四分之一球面收集極覆蓋的范圍占每個區域的比值可由計算得到。所以假設存在特征矩陣Sβ：

(2)

其中：sα為四分之一球面收集極轉動到θ=α·90°/n角度時，所占區域θ′∈((β-1)·90°/n，β·90°/n)面積與該區域總面積的比值并乘以該區域所占角度(90°/n)。可知，假設當四分之一球面收集極的轉動角度θ′=β·90°/n時，四分之一球面收集極上測量得到的二次電流Iβ存在關系：

(3)

對于整個測量過程(β=1,2,3,…,n)，存在特征矩陣S為：

(4)

同時將四分之一球面收集極在不同旋轉角度θ′下測得的二次電流Iβ列為矩陣形式，則可得：

(5)

所以存在關系式I=S·R，即：

(6)

通過計算機可方便地對S矩陣求逆得到S-1，則存在關系R=S-1×I。通過對S-1矩陣的計算及對I矩陣的測量，便可通過簡單的矩陣乘法得到二次電子的出射角度分布矩陣R。在實驗前計算1次S-1矩陣即可，S-1矩陣的值僅與四分之一球面收集極的旋轉最小步長相關，每個測試精度下均具有唯一確定的S-1矩陣。同時該測量方法也證明其測量精度是可任意調節的。

1.3 特征矩陣計算

首先計算S矩陣，S矩陣中每個元素sβ,α代表四分之一球面收集極轉動到θ=α·90°/n角度時，所占區域θ′∈((β-1)·90°/n，β·90°/n)面積與該區域總面積的比值并乘以該區域所占角度(90°/n)，如圖3中a區域所示。

a——計算目標區域(紅色區域)；b——計算目標區域所在區間(兩條綠線所夾區域)圖3 矩陣元素計算示意圖Fig.3 Schematic diagram of matrix element calculation

為方便積分，x、y軸沿水平方向，z軸沿豎直方向，建立球坐標系，θ為天頂角，φ為方位角。沿z軸方向，垂直于z軸的平面與球面相交得到的圓半徑為R球sinθ，微分面積可表示為dS=R球dαR球sinαdθ。當四分之一球面收集極的轉動角度為θ′=β·90°/n時，θ=α·90°/n角分布區域(θ∈((α-1)·90°/n,α·90°/n))上覆蓋的面積sβ,α可表示為：

(7)

(8)

當0≤α·90°/n<β·90°/n≤90°時，θ=α·90°/n角分布區域在覆蓋區域的上方，這個角分布區域被覆蓋的面積sβ,α=0，此時0≤α<β≤n。因為S矩陣中每個元素實際為測量范圍占總范圍比值與每一區域所占角度的乘積(90°/n)，則：

(9)

使用計算軟件進行計算可得S矩陣每個元素的值，然后計算S矩陣的逆矩陣S-1。

1.4 測量過程

1) 求目標矩陣。根據實驗需求選擇測量精度(如3°)，根據測量精度，使用計算軟件進行計算得到S矩陣，并計算得到逆矩陣S-1。

2) 實驗測量二次電流。四分之一球面收集極旋轉到起始位置，此時探測器上邊沿處于豎直狀態，電子槍發射電子束，使用皮安表測量四分之一球面收集極收集的電流，并記錄為I1。四分之一球面收集極旋轉1個精度步長(如3°)，記錄皮安表測量的電流為I2。四分之一球面收集極連續旋轉，記錄收集極處于不同位置皮安表測量的電流I3～In。

3) 數據處理。將測量到的1組二次電流測量值與目標矩陣S-1運算，得到二次電子空間分布測量結果。

2 有效性分析

2.1 模擬結果

使用計算軟件進行計算可得I矩陣每個元素的值。模擬過程是假設一種二次電子發射系數關于θ分布的函數形式f(θ)，對其進行積分，得到每個角度下收集的電流：

(10)

(11)

表1為3組假設函數不同精度下的平均相對誤差，可看出，該方法測量二次電子角度分布誤差較小，精度較高。

2.2 結果分析

本方法假設垂直入射條件下的二次電子空間分布僅在θ方向存在差異、沿φ方向各向同性，使用計算軟件計算了特征矩陣，并假設了不同分布函數驗證該方法的可靠性，發現不同分布函數在同一精度下的平均相對誤差較接近(表1)；而同一分布函數隨測量精度的提高，平均相對誤差逐漸減小。在實際實驗過程中，可通過提高測量精度來減小實驗誤差。仿真測試結果與理論值的對比發現，二次電子分布的測量值在接近θ=0°時發生偏差(圖4)，是因為θ接近0°時，分割單元面積較小，在求解過程中面積小的單元引入的誤差較大，說明該方法在獲得θ接近0°時的數據存在一定誤差。

表1 3組假設函數不同精度下的平均相對誤差Table 1 Average relative error of three hypothesis functions with different accuracies

a——f(θ)=δ0cos θ；b——f(θ)=δ0(1-sin θ)；c——f(θ)=δ0e-θ圖4 二次電子空間分布理論值與測量值的對比Fig.4 Comparison between theoretical and measured values of spatial distribution of secondary electron

3 結論

本文提出了探測器的物理設計，通過計算模擬對測量方法進行了校驗，模擬結果與假設二次電子空間分布函數相吻合，表明該測量方法可靠、測量精度高，從而驗證了測量方法的有效性。該測量方法的優點為：1) 計算過程簡便，將測量得到的電流與特征矩陣運算，即可得到二次電子發射空間分布；2) 測量精度可調節，在不對設備結構進行更改的情況下，可根據實驗需要調節測量精度；3) 信噪比高，測量得到的二次電子信號強，有利于降低暗噪聲的干擾；4) 僅需4個電極便可引出測量信號，電路方面相對簡單穩定且可靠。不足之處是球面探測器結構較為復雜，加工難度較大。

目前對測量方法的可行性檢驗，是假定幾種可能的二次電子空間分布，計算得到模擬的電流信號，根據電流信號反向計算得到了二次電子的空間分布，與原始假設一致。在驗證計算過程中，對真實測量過程中可能存在的各種誤差(如入射一次電子的空間分布的影響、散射一次電子的影響等)分析不足，對于測量偏差和準確度的估計可能不充分。在下一步的工作中會結合實驗結果，進行更深入的分析和修正。