精彩源于變式研究　素養成于專題復習

簡璐

【摘 要】本文闡述一題多解教學的主要形式，認為一題多解是教學生學會解題的重要途徑，是培養數學運算、邏輯推理、數學建模等素養的主要策略，提出教師應該結合高考備考復習的特點和教學要求，以“專題復習+一題多解”教學方式培養學生發散思維、深化思維和路徑選擇、提煉通性通法的能力，培養和提升學生的數學核心素養。

【關鍵詞】數學 專題復習 一題多解 例題選擇 核心素養

【中圖分類號】G? 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2020）05B-0153-04

數學大師波利亞在《怎樣解題》一書中指出，完整的數學解題可分四步：第一步，理解題目;第二步，擬訂方案;第三步，執行方案;第四步，解題回顧。從中不難看出，大師的眼里，作為一名數學解題者不僅要善于解題，而且要善于挖掘數學解題中的教育功能。解題，作為數學教學活動過程中的核心內容，它既是推進數學認知過程的有效手段，又是核心素養培育的重要途徑。筆者將引領學生循著大師的足跡，合理聯想，從問題的實質出發，探尋一般性的解決方法。

在高考備考階段，專題復習是突破重點難點，有的放矢解決問題，幫助學生構建完善知識體系的重要策略。“一題多解”教學是變式教學的主要形式，是教學生學會解題的重要途徑，是培養數學運算、邏輯推理、數學建模等素養的主要策略。學生經過兩年的高中學習，已經具備開展一題多解變式教學的知識儲備和方法積累，掌握了高中階段主要的知識內容和思想方法，在平時的自主解題中基本可以用一至兩種解題方法。因此，筆者結合高考備考復習的特點和教學要求，以“一題多解”教學培養學生發散思維，深化思維和路徑選擇，提煉通性通法等，這是高三數學專題復習必不可少的教學手段。一般來說，在復習課中實施“一題多解+專題復習”模式，能有效地整合和提升學生的核心素養，取得良好的效果。

一、用一個題涵蓋一個專題復習的主要方法，提升學生的數學運算素養

數學運算素養是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養。運算求解能力考查的重點是學生確認問題或情境的數學特征及關鍵變量，利用恰當的變量與符號對問題情境進行數學表征的能力。尋找合理的運算途徑，培養建立求解模型的思維品質。

〖例 1〗（2017 年全國 Ⅲ 卷 17 題）△ABC 的內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，已知 sinA+cosA=0，，b=2。

（1）求 c;

（2）設 D 為 BC 邊上一點，且 AD⊥AC，求 △ABD 的面積。

〖試題分析〗

該題設清晰，問法自然，難度適中。第（1）問前半段，求角 A 方法相對簡單，由簡單的三角方程求出 。第（1）問后半段，求邊長 c，方法不多。在△ABC 中，，所以 ，則 c2+2c-24=0? c=-6（舍去），c=4。第（2）問添加了一個垂直條件，成為常見的“爪”字形三角形問題，題目中出現了 3 個三角形，解法立刻豐富起來。而解決問題的核心是求 AD，或明確 D 的位置。有多種解法。

〖解法評析〗

[解法 1]采用三角形中已知三邊，求出 ;在 Rt△ACD 中，由 ，求出 ，則面積? 。運用特殊的直角三角形求邊求面積。

[解法 2]采用構造直角三角形的方法，設未知數，建立方程，求出 AD。過點 B 作 BE⊥CA 交 CA 延長線于點 E，設 AE=x，則 AB=2x，，在 Rt△CBE 中，由勾股定理得到關于 x 的一元二次方程，解出 x=-3（舍去），x=2，c=AB=2x=4。由數據發現點 D 是線段 BC 的中點，，面積可求。

[解法 3]作垂直，通過圖形的性質，即三角形全等（△BDF? △ACD）得 D 為中點，解出 AD，面積可求。

[解法 4]直接觀察數據 ，發現點 D 是線段 BC 的中點，則 。

[解法 5]因為 AD⊥AC，以點 A 為原點建立平面直角坐標系 A-xyz，則 A（0，0），C（2，0），B（-2，），E（-2，0）（E 為過點 B 作 BE⊥CA 交 CA? 延長線于點 E），故點 A 為 EC 中點;又 AD∥BE，點 D 為 BC 中點，所以 D（0，），面積可求。通過構造平面直角坐標系，由點的坐標求解。

〖小結〗這是高三“解斜三角形”專題復習選用的一個例題。通過一題多解教學，使學生的計算素養形成三個層面的提升：第一層面是運用正余弦定理求邊求角，應用三角形的面積公式求面積。當學生達到這個能力層面時，就可以順利完成解答題的第 1 問，也說明學生具備了基本的計算素養。第二層面是善于構造直角三角形，或利用圖形的平面幾何特性（包括建立平面直角坐標系，用坐標或平面向量解題），培養學生數學推理、直觀想象、選擇合理的計算路徑的能力。第三層面是能夠從數學模型的高度決定問題解決的方法。“爪”字形是解斜三角形專題中的典型模型。從數學模型的高度去解決問題，可以實現解題規劃性、程序性、準確性的高度統一。從統整核心素養的培育角度看，這一道題綜合考查了學生的數學運算、邏輯推理、數學建模等素養，以及函數與方程的思想、數形結合思想、轉化與化歸思想。另外，此題中解法 4 直接用直觀想象、湊數的方法解決，體現了良好的“數感”，這可極大地減少計算量。這是非常好的教學素材，具有極高的教育價值。

二、用一個題席卷一個專題復習的核心內容，提升學生的邏輯推理素養

邏輯推理是學生必備的數學核心素養之一，幾何解題教學應重視發展學生邏輯推理能力。邏輯推理是指從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題的素養。推理論證能力考查的重點是運用邏輯推理的基本形式提出和論證命題、理解事物之間的關聯、把握知識框架的能力;會用類比、歸納和演繹進行推理，能合乎邏輯地、有條理地表達的思維品質。

〖例 2〗（2019 年全國Ⅲ卷 19 題）圖 1 是由矩形 ABED，Rt△ABC 和菱形 BFGC 組成的一個平面圖形，其中 AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°。將其沿 AB，BC 折起使得 BE 與 BF 重合，連結 DG，如圖 2。

（1）證明：圖 2 中的 A，C，G，D 四點共面，且平面 ABC⊥平面 BCGE;

（2）求圖 2 中的二面角 B-CG-A 的大小。

〖試題分析〗

該題題設清晰，問法新穎，是翻折問題，注意翻折前后量的變化。第一問第一段證明 A，C，G，D 四點共面，有兩種方法。解法 1 轉化為由平行判定共面的問題，得 AD∥CG，則 A，C，G，D 四點共面。解法 2 轉化為向量相等，即 ，則ACGD 是平行四邊形，從而判定四點共面。第一問第二段證明平面 ABC⊥平面 BCGE，解決途徑較為單一，通過證明 AB⊥面 BCGE，從而證明平面 ABC⊥平面 BCGE，即由線線垂直得線面垂直，再得面面垂直。第二問求角，解決這一問題可以用傳統法或向量法，而坐標原點選擇不一樣又產生多種解法。

〖解法評析〗

[解法 1]作垂線 EO⊥BC，垂足為 O，依題意判斷 O 為 BC 中點，由面面垂直得線面垂直 EO⊥面 ABC;或者因為△EBC 為等邊三角形，取 BC 中點為 O，亦可證得線面垂直。以點 O 為原點建坐標系，下一個關鍵點是點 G 的坐標，即 G（2，0，），面 ACGD 的法向量 （*），順利得解。

[解法 2]過點 B 作 BK⊥面 ABC，垂足為 B，則以點 B 為原點建坐標系，得 G（3，0，），面 ACGD 的法向量與（*）同，得解。

[解法 3]將三棱柱補成平行六面體 ABCP-DEGQ，底面補成矩形，以點 P 為原點建坐標系，則 G（-1，1，），面 ACGD 的法向量 ，得解。當然，從理論上講還可以以點 A 為原點建坐標系求解，但計算繁瑣，略去。

[解法 4]是傳統法，通過“作-證-求”將二面角（空間角）轉化為平面角，過點 D 作 DR⊥GC，R 為垂足，連接 ER，ER 是斜線 DR 在面 BCGE 上的射影，所以 GC⊥ER。在 Rt△DER 中，∠DRE 是二面角 B-CG-A 的平面角，在三角形中求解，簡便易算。

[解法 5]也是傳統法，因為面 BCGE 是面 ACGD 的射影平面，用圖形面積與其射影面積的關系求解，即設二面角 B-CG-A 的平面角為 θ，因為 SACGD·cosθ=SBCGE，所以 cosθ 易求得解。此法不需要作二面角的平面角，也是非常好的方法。

〖小結〗這是高三“空間幾何體的位置關系”專題復習選用的一個例題。本題的一題多解使學生在邏輯推理、直觀想象、數學運算三方面都有所提升。首先，學生的直觀想象素養在幾何學范疇得到較好的提升。其次，學生的邏輯推理素養實現三個層次的提升。第一層次是空間線線、線面、面面之間平行關系的推理，平行關系最終回歸到平面關系。第二層次是空間線線、線面、面面之間垂直關系的推理，關鍵是相互之間的轉化和過渡。第三層次是傳統的“作—證—求”，將空間問題平面化，從定義出發進行推證，是典型的演繹推理過程，將邏輯推理素養和直觀想象素養的培育提升到較高的水平。同時，一題多解的教學方法幫助學生全面復習向量法、補形法、傳統法、射影法等，為學生構建完整的知識體系奠定堅實的基礎。最后，向量法中分別以點 O，B，P，A 為坐標原點，通過比對，選擇計算量小，關系簡單的建坐標系方法進行計算，是數學運算素養培育的重要方向。特別的，當點的坐標求解困難時，可運用向量運算進行轉化。例如，，由此求出點 G 的坐標。向量運算是高中數學運算素養培育的重要內容，也是其他運算不能替代的重要內容。縱觀整個解決問題的過程，此題包含了空間幾何體專題復習的幾乎全部核心知識點和主要方法。將知識糅合在一起，讓人體會到核心素養是一個有機整體，各素養之間高度融合、協調發展。這一題是考查學生綜合能力的良好素材。

三、用一個題總結一個專題復習的通性通法，提升學生的模型素養

2017 年版的課程標準提出的核心素養增加了數學建模素養，指明未來高中數學教育前進的方向是致力于數學應用與實踐，以此支撐其他學科領域的研究。數學建模是對現實問題或事件進行的一種數學抽象，它用數學語言表達問題，用數學方法建構模型解決問題。它有三個階段：抽象→數學表達→ 建模（解決問題）。根據教學改革的實際，筆者認為培養學生的模型素養是當務之急，也是可行之策。即對已有的數學概念，能梳理其本質屬性，總結通性通法，構建模型，并解決此數學概念的相關問題。

〖例 3〗（2016 年高考天津卷·理科）已知 △ABC 是邊長為 1 的等邊三角形，點 D，E 分別是邊 AB，BC 的中點，連接 DE 并延長到點 F，使得 DE=2EF，則? ?的值為（? ?）

〖試題分析〗

該題是以特殊三角形為背景，考查平面向量相關知識的選擇題。從平面向量的基本概念出發，綜合考查平面向量的運算。問題直接設置為向量與向量的數量積，但平面向量的加、減，實數與向量的積，向量與向量的數量積四種運算都涉及，是一個精巧的小題。同時，本題也綜合考查了數形結合、化歸與轉化的數學思想。

〖解法評析〗

[解法 1]依題意將? 進行分解，變為可求的數量積 （向量保持乘法分配律），又 ，。此法為定義法。

[解法 2]設基底 ，

且 ，

將? 用基底線性表示

，

此法為基底法。

[解法 3]采用平面直角坐標系解題。以點 E 為原點，EC 為 x 軸建坐標系，則

。

此法為坐標法。

〖小結〗這是高三“平面向量”專題復習選用的一個例題。本題的一題多解總結了平面向量問題的通性通法，即“分解—基底—坐標化”。高中數學平面向量的知識內容較少，但應用廣泛，是學生學習的難點，在各類考試中得分率低。究其原因是學生因為沒有抓住本質。向量的本質是一種運算，向量可以進行分解，其實質是向量的加法和減法。但是分解后的相關運算可能會比較復雜，或者因為選擇多樣而產生障礙。由此可選擇一組不共線的向量構成基底，在平面內任意向量均能用這組基底進行線性表示。表示的過程也是分解的過程，不同的人分解路徑會不一樣，有多樣性，但結果是一樣的。另外，基底不同，當然線性表示的結果也不同，但是問題最終的結果是固定的。例如本題的數量積，使用不同的基底， 的結果會不同，但是兩者的數量積是相同的都是答案 B。向量是一種運算，還體現在向量可以放到坐標系中進行運算。向量有坐標運算，實現了一個矢量與一組有序數對的對應關系，實現了幾何問題代數化。正是向量的多變性、多樣性、靈活性，使向量具有良好的模型化特點，即所有平面向量的問題，用“分解—基底—坐標化”這七個字就能迎刃而解。因此，專題復習梳理通性通法是培養學生模型素養的重要途徑。如果附加上數學知識與實際問題的關聯，那么就完成了數學建模。向量在物理學中表示的是矢量，比如力，是否可以這樣認為，學生解決力學問題，就是在進行數學建模，在培養數學建模素養。

四、“專題復習+一題多解”教學的課堂實施策略

（一）以學生為主體的課堂是提升素養的重要保證

高三專題復習階段的一題多解教學要真正起作用，課堂 40 分鐘要由學生主講。因為此階段的學生具有迫切整合知識以使達到熟練應用的學習目標和較強的學習能力，所以“把課堂還給學生”既是教學理念，也是學習方法。學生通過課前充分準備、課堂完美展現、課后領悟升華三個環節，至少能實現三個目標：一是對概念、定理的理解更準確、更深入;二是對數學方法的應用和表達更成熟、更完善;三是對解決問題能力的培養更全面、更有效。眾所周知，解決問題需要統整核心素養，而統整的過程一定是內化的過程，是反復琢磨直到清晰可見、熟練掌控的過程。這就需要教師搭建自主課堂的平臺，學生通過自主鉆研、積極分享、合作互助，使學科知識板塊化，使考綱考點明確化，實現學習自主化。學生通過專題復習，將概念、定理串成串，構建知識體系;使通性通法成形，指導解題流程;使能力素養成長，提升思維程度。

（二）以真題為主的例題選擇是保證課堂效果的點睛之筆

一題多解的例題選擇要精挑細選，這樣才能使人回味無窮，因此寧缺毋濫。“多解”中的眾多方法應該是源頭不同的，或思想方法不同的，或所屬知識板塊不同的。解法的多樣化一定立足于思維角度和方法，而不僅僅是形式上的多。在這方面可以選擇歷年高考真題，它有很好的教學價值。它重視考查學生基本數學思維的應用能力，統整數學核心素養的綜合培養情況，強調數學閱讀與表達，考查典型問題的內在價值和遷移功能，突出問題的靈活性、創新性，故而常常伴有“一題多解”。因此，筆者提倡一節專題復習課的例題一定要有高考真題。在課中，教師和學生都要從多個角度考慮解決問題的方法，理解并體會能力培養的過程，明確各素養整合的終極目標。但也可以是真題的變形，通過轉變問題、條件、內容、情境創設等要素，幫助學生發現學科本質。這不僅能夠幫助學生解決高考試題，而且能夠使學生領悟學科培養的高度，為進一步學習打下堅實的基礎。

（三）以變式鞏固為課后作業是素養養成的重要過程

一題多解的課堂內容是豐富的、充實的，同時也是充滿挑戰的。如果要加深理解，夯實所學，那么教師就要通過課后變式鞏固來檢驗和落實。變式鞏固題的選擇可以遵循以下幾點：（1）形式類同，但內容更廣或思維培養要求更高;（2）試題有梯度，是由易到難，層層深入;（3）緊扣主題，體現數學本質;（4）題目少而精，解法多樣;（5）新穎有亮點，考驗學生眼光。筆者認為，素養的養成過程一定是學生的自主探究和深入思考的過程，一定是在解決問題時各素養綜合作用形成合力的過程。因此在高考備考專題復習的階段，教師的智慧不是體現在講課方面，而是體現在選擇什么題目，也就是說，選擇用什么樣的問題拋給學生，然后留出足夠的時間和空間讓學生用于“悟”，引領學生走向“道”。

數學解題方法林林總總，在教學中介紹方法只是手段，目標是指向素養的形成及能力的提高。筆者認為，一題多解教學能促進學生養成思考、討論的習慣，是培養學生思維的全面性、嚴謹性、多樣性、創新性的重要途徑。在高三專題復習的特定階段，自覺地“探尋變式研究”并在教學內容上發展創新，樹立核心素養觀念，“為發展核心素養而教”。這應是教師當前復習教學的努力方向，也是能力和素養綜合提升的有效手段，是教育發展的正確方向。

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[4]宗火祥.問題驅動思維 思維成就素養[J].中學數學教學參考（上旬），2019（5）.

【基金項目】本文系廣西壯族自治區教育科學“十三五”規劃2019年度課題“基于大數據的高中數學核心素養提升的策略研究”（編號：2019B140）的階段性成果。

（責編 盧建龍）