淺析換元法在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

許濤

摘要：解題訓(xùn)練是筆紙化應(yīng)試教育背景下的最為常見的一種訓(xùn)練形式，也是評(píng)價(jià)學(xué)生學(xué)習(xí)效果、應(yīng)用能力最直接、最便捷、最公平的形式之一。為此，在常態(tài)的教學(xué)過程中，如何提高學(xué)生的解題能力、啟發(fā)學(xué)生的解題思維、促進(jìn)學(xué)生的能力生長是初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐需要重點(diǎn)研究的一項(xiàng)課題。筆者結(jié)合換元法在初中數(shù)學(xué)中的實(shí)踐與研究，談?wù)劮椒ㄅc思想滲透的達(dá)成策略。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);換元法;應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G4? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? 文章編號(hào)：（2020）-24-134

隨著教育改革的不斷推進(jìn)，數(shù)學(xué)思想越來越受重視，有關(guān)換元法的研究和運(yùn)用也取得突破性發(fā)展。在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，解答一些復(fù)雜的因式分解問題常用到換元法，即對(duì)結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜的多項(xiàng)式，如果將其中某些部分看成一個(gè)整體，用新字母代替，可以將復(fù)雜問題變得明朗化和簡單化，在減少多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)，降低多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)復(fù)雜程度等方面有積極作用。

一、換元法在因式分解中的應(yīng)用

因式分解是初中數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的一項(xiàng)有力工具。在解因式分解時(shí)，需要用新元來替換式中的某個(gè)部分，從而減少因式項(xiàng)數(shù)，最終讓復(fù)雜的因式分解變得簡單。

例1：分解因式：（b+c-2a）3+（c+a-2b）3+（a+b-2c）3。

解析：如果先去掉括號(hào)，然后再進(jìn)行分解，過程會(huì)相當(dāng)煩瑣且運(yùn)算量巨大。如果我們注意到（b+c-2a）+（c+a-2b）+（a+b-2c）=0，則可通過換元法將復(fù)雜的情況轉(zhuǎn)化為簡單問題。

解答：設(shè)（b+c-2a）=x，（c+a-2b）=y，（a+b-2c）=z，則有：x+y+z=0，

又 x3+y3+z3-3xyz=（x+y+z）（x2+y2+z2-xy-yz- xz）， 則 有：x3+y3+z3-3xyz=0，

因此，原式= x3+y3+z3-3xyz+3xyz=3xyz=3（b+c-2a）（c+a-2b）（a+b-2c）。

如果能夠掌握換元法求解參數(shù)試題，那么數(shù)字試題就能夠輕松解答。

二、換元法求解分?jǐn)?shù)方程和無理方程

分?jǐn)?shù)方程和無理方程的難度要大于普通方程，因此需要換元法來降低方程的求解難度。

例2：解方程：2x2+1x2-7x+7x+2=0。

解析：首先，我們要將原方程進(jìn)行簡化，即原方程=2[（x-1x）2+2]-7（x-1x）+2=0，

設(shè)x-1x=y，則上述方程可化為：2y2-7y+6=0，解方程得y1=2，y2=32當(dāng)y=2時(shí)，x-1x=2，即x=1±2，當(dāng)y=32時(shí)，x-1x=32，得x=-12或x=2，再檢驗(yàn)這些根，得這些根都是原方程的解。

例3：解方程：2x2-6x-1+3x2-3x+2=0。

解析：本題需要從題目中的根號(hào)入手，讓根號(hào)內(nèi)外通過增減項(xiàng)變得一致，然后利用換元法將二次根式進(jìn)行替換，最終將無理方程轉(zhuǎn)換為有理方程進(jìn)行求解。

解答：原方程=2（x2-3x+2）+3x2+3x+2-5=0，

設(shè)x2+3x+2=y，則原方程化為：2y2+3y-5=0，

最終得到：y1，y2=-52，

當(dāng)y=1時(shí)，x2+3x+2=1，即x2-3x+2=1， 解得x1=3+52通過檢驗(yàn)，y=-52要舍去，因此，原方程的根為x2=3-52。x1=3+52，x2=3-52。

三、換元法求解高次方程

整式方程未知數(shù)最高項(xiàng)次數(shù)高于2次的方程，稱為高次方程。

例4：（1）已知方程（2x2+1）2-2x2-3=0，設(shè)y=2x2+1，則原方程可化為??? ;

（2）仿照上述解法解方程：（x2+2x）2-3x2-6x=0。

解析：（1）設(shè)y=2x2+1，則原式左邊=（2x2+1）2-（2x2+1）-2=y2-y-2，

∴原方程可化為y2-y-2=0。

（2）設(shè)x2+2x =y，則原式左邊=（x2+2x）2-3（x2+2x）=y2-3y;

∴y2-3y=0，即y（y-3）=0，即y=0或3。

當(dāng)y=0時(shí)，則x2+2x=0，∴x（x+2）=0，解得x=-2或0;

當(dāng)y=3時(shí)，則x2+2x=3，∴x2+2x-3=0，解得x=-1或3。

故方程的解為-1，-2，0，3。

通過解題過程我們可以看到，換元法能夠有效降低方程的冪次，降低試題的難度，提升學(xué)生計(jì)算的速度和效率，因此，教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注重傳授這種數(shù)學(xué)思維，使學(xué)生能夠靈活運(yùn)用。

四、換元法巧解方程組

學(xué)生運(yùn)用換元法求解方程組能夠有效消元，簡化求解過程和步驟，從而提升解題的速度和效率。

例5：解方程組：

（1）2x+y-1x-y=33x+y+4x-y=10;（2）x+y2+x-y3=7x+y3+x-y4=-1。

解析：如果正常求解這個(gè)方程組，會(huì)比較麻煩。我們可以把x+y，x-y分別看為一個(gè)整體，進(jìn)行“換元”，然后再進(jìn)行方程的求解，這樣較為簡單。

解答：（1）設(shè)1x+y=m，1x-y=n，化簡上述方程組得：2m-n=33m+4n=10，

解得m=2n=1，即x+y=12x-y=1，解得x=34y=-14。

（2）設(shè)x+y=m，x-y=n，則原方程組可化為m2+n3=7m3+n4=-1，

解得m=6n=12，∴x+y=6x-y=12，

最終解得x=9，y=-3。

通過解題過程我們可以得到，利用換元法能夠有效降低方程的運(yùn)算難度，提升解題速度，因此教師應(yīng)當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生總結(jié)相關(guān)技巧，提升數(shù)學(xué)思維和水平。

總之，數(shù)學(xué)教師在授課過程中應(yīng)當(dāng)加大訓(xùn)練的強(qiáng)度和力度，總結(jié)經(jīng)典習(xí)題的解題方法，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和成就感，幫助他們?nèi)〉美硐氲姆謹(jǐn)?shù)，從而進(jìn)入心目中的高中進(jìn)行深造學(xué)習(xí)。

參考文獻(xiàn)

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