基于線(xiàn)段圖解決有關(guān)倍的問(wèn)題的研究與實(shí)踐

胡建芳 陳亞峰

摘?要：在解決有關(guān)倍的問(wèn)題時(shí)理清量與量之間的數(shù)量關(guān)系起著非常重要的作用，本文對(duì)教學(xué)“解決有關(guān)倍的問(wèn)題”的過(guò)程中利用線(xiàn)段圖幫助學(xué)生理清數(shù)量關(guān)系并解決問(wèn)題進(jìn)行了研究和實(shí)踐。

關(guān)鍵詞：倍的問(wèn)題;線(xiàn)段圖;數(shù)量關(guān)系

“解決倍的問(wèn)題”是人教版三年級(jí)上冊(cè)第五單元的內(nèi)容，教材上出現(xiàn)了兩類(lèi)問(wèn)題：求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍（求幾倍數(shù)）;求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少（求比較量）。而在我們實(shí)際解決有關(guān)倍的問(wèn)題時(shí)，往往還會(huì)出現(xiàn)第三類(lèi)問(wèn)題：已知一個(gè)數(shù)的幾倍是多少，求這個(gè)數(shù)（求標(biāo)準(zhǔn)量）。這些問(wèn)題看似簡(jiǎn)單，但學(xué)生卻很容易出現(xiàn)“見(jiàn)倍就乘”或無(wú)從下手的情況，究其原因是沒(méi)有理清問(wèn)題中“標(biāo)準(zhǔn)量”、“比較量”和“幾倍數(shù)”這三種量之間的數(shù)量關(guān)系。

數(shù)量關(guān)系是從一類(lèi)有共同規(guī)律的數(shù)學(xué)問(wèn)題中總結(jié)出來(lái)的，能夠揭示某些數(shù)量之間的本質(zhì)聯(lián)系的數(shù)學(xué)概念。它能為學(xué)生在解決類(lèi)似問(wèn)題指引方向，提供基本方法，形成思維，幫助學(xué)生有效解決問(wèn)題。

筆者認(rèn)為，線(xiàn)段圖可以幫助學(xué)生快速而準(zhǔn)確理清數(shù)量關(guān)系。線(xiàn)段圖是由一條或幾條線(xiàn)段組合在一起，利用線(xiàn)段的長(zhǎng)短關(guān)系表示問(wèn)題中抽象的數(shù)量關(guān)系的一種解題形式。線(xiàn)段圖有利于把抽象的概念形象化，幫助學(xué)生理清題目中的條件和問(wèn)題，抓住它們之間的數(shù)量關(guān)系，成功解決難題。線(xiàn)段圖可以讓“倍的問(wèn)題”中三種量的關(guān)系更加的直觀(guān)，三年級(jí)的學(xué)生以具體形象思維為主，數(shù)量關(guān)系又比較抽象，所以我們可以利用線(xiàn)段圖的直觀(guān)形象，幫助學(xué)生理解并分析數(shù)量關(guān)系。

一、動(dòng)態(tài)演變，初識(shí)線(xiàn)段圖

理清問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系是學(xué)生解決有關(guān)倍的問(wèn)題的關(guān)鍵所在，因此我們要讓學(xué)生讀懂線(xiàn)段圖，了解線(xiàn)段圖中每一部分表示的意思，知道各部分之間的關(guān)系。

1.思考：圖示在學(xué)生思維發(fā)展過(guò)程中的變化及聯(lián)系

三年級(jí)的學(xué)生之前并沒(méi)有接觸過(guò)線(xiàn)段圖，這主要和學(xué)生的思維發(fā)展有關(guān)。學(xué)生的思維特點(diǎn)在小學(xué)階段是一個(gè)動(dòng)態(tài)的發(fā)展：具體形象思維→抽象邏輯思維，但他們的抽象思維很大程度上仍然和直觀(guān)經(jīng)驗(yàn)相關(guān)聯(lián)，需要具體形象的幫助。

筆者對(duì)教材中出現(xiàn)三類(lèi)圖示的運(yùn)用情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)示意圖通常出現(xiàn)在一年級(jí)至三上年級(jí)，高年級(jí)也有出現(xiàn)，但一般在“數(shù)學(xué)廣角”和“綜合實(shí)踐”課;色條圖只在二上年級(jí)出現(xiàn)過(guò)一次;線(xiàn)段圖是在三上年級(jí)解決“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”時(shí)開(kāi)始出現(xiàn)，并且在高年級(jí)成為學(xué)生解決問(wèn)題中的有力工具。可見(jiàn)，圖示應(yīng)用的改變也體現(xiàn)了學(xué)生思維發(fā)展的變化。

圖示是思維的具象表現(xiàn)，但不得不說(shuō)，三種圖示還是有所不同：示意圖是最具象的一種圖示，學(xué)生最容易理解并且利用它解決問(wèn)題，所以是學(xué)生在低段常用的解決問(wèn)題的方法;色條圖是對(duì)示意圖的初步抽象，教材中使用不多，學(xué)生對(duì)于這種圖示并不熟悉;線(xiàn)段圖是對(duì)圖示的再一次抽象，對(duì)三年級(jí)的學(xué)生而言，線(xiàn)段圖的理解有一定的困難。

2.教學(xué)實(shí)踐：

針對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)于色條圖和線(xiàn)段圖的理解有困難，我對(duì)這兩種圖示的呈現(xiàn)給予動(dòng)畫(huà)演變的過(guò)程，即示意圖→色條圖→線(xiàn)段圖，動(dòng)態(tài)的演變過(guò)程能讓學(xué)生將抽象的圖示與已經(jīng)理解的具象的圖示聯(lián)系起來(lái)，幫助對(duì)抽象圖示的理解。

【教學(xué)片段：】

（1）示意圖解決問(wèn)題

（課件出示數(shù)學(xué)信息，引導(dǎo)學(xué)生提出有關(guān)倍的問(wèn)題：擦桌椅的有12人，掃地的有4人。擦桌椅的人數(shù)是掃地的幾倍？）

①引出示意圖，請(qǐng)學(xué)生描述對(duì)示意圖的理解（明確：一個(gè)○表示一個(gè)人）

②利用示意圖解決問(wèn)題

問(wèn)：你能看出擦桌椅的人數(shù)是掃地的幾倍嗎？怎么看的？（把掃地的4人看作一份，擦桌椅的就有這樣的3份，就是三倍。）也可以用圈一圈的方法，看出有這樣的3份。（課件演示圈一圈解決問(wèn)題的過(guò)程）

（2）色條圖解決問(wèn)題

①色條圖的認(rèn)識(shí)

（利用課件動(dòng)態(tài)演示呈現(xiàn)色條圖：）

問(wèn)：你能從這個(gè)圖示中找到剛才的信息嗎？你能把剛才的信息填到這幅圖示中嗎？（“掃地的”旁邊一條長(zhǎng)度表示4人，“擦桌椅的”旁邊一條表示12人）

提出：這樣的圖我們把它叫做色條圖，它的長(zhǎng)短表示數(shù)量的多少。

②利用色條圖解決問(wèn)題

問(wèn)：怎樣才能從色條圖中知道擦桌椅的人數(shù)是掃地的幾倍？（用掃地的一條去下面比一比，看看有幾個(gè)這樣的一條？）

（3）認(rèn)識(shí)線(xiàn)段圖

（將色條圖演變成線(xiàn)段圖：）

請(qǐng)學(xué)生根據(jù)自己的理解將信息填入線(xiàn)段圖中。

二、二次畫(huà)圖，感知數(shù)量關(guān)系

1.數(shù)量關(guān)系在線(xiàn)段圖中的體現(xiàn)

解決問(wèn)題能綜合培養(yǎng)學(xué)生各方面能力，學(xué)生解決問(wèn)題的過(guò)程中，有時(shí)候會(huì)遇到數(shù)學(xué)信息頗多的題目，那么學(xué)生往往會(huì)不知道從何開(kāi)始分析題目，找不出其中的數(shù)量關(guān)系，特別是有些問(wèn)題中是多個(gè)數(shù)量關(guān)系的疊加，因此利用線(xiàn)段圖，標(biāo)注簡(jiǎn)單的符號(hào)、簡(jiǎn)潔的文字，讓學(xué)生直觀(guān)感知問(wèn)題中單一的或多重的數(shù)量關(guān)系，從而得出解決問(wèn)題的思路和方法。

在人教版的教材中，問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系有單一數(shù)量關(guān)系以及由單一數(shù)量關(guān)系組成的多重?cái)?shù)量關(guān)系，筆者對(duì)小學(xué)階段用線(xiàn)段圖來(lái)解決問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行了整理：

（1）體現(xiàn)單一數(shù)量關(guān)系的線(xiàn)段圖

以上線(xiàn)段圖基本上涵蓋了所有數(shù)量關(guān)系的不同形式，主要為和差關(guān)系、總分關(guān)系和倍數(shù)關(guān)系。當(dāng)我們解決“小明有4個(gè)氣球，小紅有6個(gè)氣球，兩人共有多少個(gè)氣球？”這個(gè)問(wèn)題時(shí)，我們就可以用①號(hào)線(xiàn)段圖來(lái)幫助學(xué)生理解題意，理清數(shù)量關(guān)系，解決問(wèn)題;當(dāng)我們解決“汽車(chē)每小時(shí)行駛60千米，2小時(shí)行駛了多少千米？”這個(gè)問(wèn)題時(shí)，可以用④號(hào)線(xiàn)段圖來(lái)速度、時(shí)間和路程之間有“速度×?xí)r間=路程”的關(guān)系;④號(hào)線(xiàn)段圖還可以幫助學(xué)生解決“每箱有12瓶水，4箱共有多少瓶水？”這樣的問(wèn)題，學(xué)生能夠在理解的基礎(chǔ)上提煉出數(shù)量關(guān)系：每箱的數(shù)量×箱數(shù)=總數(shù);像⑦號(hào)線(xiàn)段圖既可以解決“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”，也可以解決“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”這類(lèi)倍率問(wèn)題。

（2）體現(xiàn)多重?cái)?shù)量關(guān)系的線(xiàn)段圖

我們不難發(fā)現(xiàn)，這些能夠體現(xiàn)多重?cái)?shù)量關(guān)系的線(xiàn)段圖里所包含的數(shù)量關(guān)系，都是兩個(gè)單一數(shù)量關(guān)系的組合，當(dāng)然，若出現(xiàn)更復(fù)雜的問(wèn)題也會(huì)包含更多個(gè)單一數(shù)量關(guān)系。這也說(shuō)明線(xiàn)段圖可以幫助我們理清各類(lèi)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，學(xué)生分析各類(lèi)問(wèn)題都可以使用線(xiàn)段圖這個(gè)工具來(lái)分析題意，理清關(guān)系，突破問(wèn)題的關(guān)鍵。

2.數(shù)量關(guān)系在線(xiàn)段圖中的形成

數(shù)學(xué)思維就是用數(shù)學(xué)思考問(wèn)題和解決問(wèn)題的思維活動(dòng)形式。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開(kāi)思維，數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決需要通過(guò)思維來(lái)實(shí)現(xiàn)，學(xué)生畫(huà)圖的過(guò)程既是學(xué)生思維活動(dòng)的過(guò)程，同時(shí)也是數(shù)量關(guān)系的建構(gòu)過(guò)程。而對(duì)于一些已知條件比較多、關(guān)系比較復(fù)雜的問(wèn)題，我們也可以將線(xiàn)段圖作為學(xué)生思考的媒介。

畫(huà)線(xiàn)段圖是從已有的數(shù)學(xué)信息出發(fā)，用線(xiàn)段來(lái)表示條件和問(wèn)題，并用簡(jiǎn)潔的文字、符號(hào)進(jìn)行一一對(duì)應(yīng)的標(biāo)注。

例如：甲數(shù)是5，乙數(shù)是甲數(shù)的3倍，丙數(shù)比乙數(shù)多4，丙數(shù)是多少？

畫(huà)法：根據(jù)“甲是5”，可以用一條線(xiàn)段來(lái)表示甲;“乙數(shù)是甲數(shù)的3倍”，那么表示乙數(shù)的線(xiàn)段就有

3條表示甲數(shù)的線(xiàn)段那么長(zhǎng);再根據(jù)“丙數(shù)比乙數(shù)多4”，知道表示丙數(shù)的線(xiàn)段比乙數(shù)長(zhǎng)一些。同時(shí)將條件和問(wèn)題準(zhǔn)確的填補(bǔ)上去（如右圖）。根據(jù)已有的數(shù)量和數(shù)量之間的關(guān)系來(lái)作圖的，每畫(huà)一步都體現(xiàn)其中兩個(gè)量的關(guān)系，學(xué)生在作圖的過(guò)程中不知不覺(jué)感知其中的數(shù)量關(guān)系：“甲數(shù)×3=乙數(shù)”和“乙數(shù)+4=丙數(shù)”，并建構(gòu)出兩個(gè)關(guān)系之間的聯(lián)系：甲數(shù)×3+4=丙數(shù)，從而得出解決問(wèn)題的思路。

3.教學(xué)實(shí)踐：

放手讓三年級(jí)的學(xué)生畫(huà)線(xiàn)段圖難度是比較大的，因此筆者在該部分以一問(wèn)一答一畫(huà)的形式，讓學(xué)生說(shuō)，教師板演畫(huà)圖的方式進(jìn)行執(zhí)教，為學(xué)生理清思路，感知不同的有關(guān)倍的問(wèn)題中包含的幾個(gè)量的關(guān)系。

（1）第一次畫(huà)圖解決問(wèn)題

【教學(xué)片段】

師：我們也來(lái)動(dòng)手畫(huà)一畫(huà)，先畫(huà)什么？再畫(huà)什么？代表什么？

師：然后我們把信息標(biāo)上去，一般情況下表示具體的人數(shù)我們標(biāo)在線(xiàn)段的下面，“幾倍”表示兩個(gè)量之間的關(guān)系，我們標(biāo)在線(xiàn)段上面。

師：現(xiàn)在我們來(lái)從線(xiàn)段圖中來(lái)解決這個(gè)幾倍問(wèn)題，你是怎么想的？（就是求12里面有幾個(gè)4）

（2）第二次畫(huà)圖解決問(wèn)題

【教學(xué)片段】

師：3倍一定對(duì)嗎？我們是不是要來(lái)檢驗(yàn)一下，我們?cè)賮?lái)畫(huà)畫(huà)線(xiàn)段圖。

師：先畫(huà)什么？再畫(huà)什么？一樣長(zhǎng)的一段說(shuō)明什么？為什么畫(huà)3段？

師：這樣看來(lái)我們求4的3倍就是求3個(gè)4是多少？

兩次畫(huà)圖體現(xiàn)并解決了有關(guān)倍的兩類(lèi)問(wèn)題：求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍，求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少。本環(huán)節(jié)通過(guò)對(duì)前面的結(jié)果進(jìn)行質(zhì)疑，學(xué)生自然而然提出有關(guān)“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”的問(wèn)題，提出檢驗(yàn)要求，使學(xué)生初步感受兩種問(wèn)題之間存在著聯(lián)系。兩次畫(huà)圖，先畫(huà)都是“掃地的4人”，學(xué)生充分明白解決有關(guān)倍的問(wèn)題第一要素是要找出“標(biāo)準(zhǔn)量”，體現(xiàn)對(duì)倍概念本質(zhì)的理解，再根據(jù)先畫(huà)已知條件再畫(huà)問(wèn)題的方式來(lái)逐步畫(huà)出比較量和幾倍數(shù)，若已知比較量求幾倍數(shù)，則先畫(huà)比較量再標(biāo)注問(wèn)題，若已知幾倍數(shù)求比較量，則先畫(huà)同樣長(zhǎng)的幾段標(biāo)準(zhǔn)量的長(zhǎng)度，再標(biāo)注問(wèn)題。在這樣的過(guò)程中，讓學(xué)生感知標(biāo)準(zhǔn)量、比較量和幾倍數(shù)這三種量存在著一定的聯(lián)系。

（3）在比較中提煉數(shù)量關(guān)系

比較法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的方法，是思維發(fā)展的展現(xiàn)。讓學(xué)生對(duì)兩次畫(huà)的線(xiàn)段圖進(jìn)行觀(guān)察比較，找到它們的聯(lián)系和區(qū)別。

【教學(xué)片段：】

師：剛才我們因?yàn)橐獧z驗(yàn)畫(huà)了第二幅線(xiàn)段圖，現(xiàn)在請(qǐng)你比較兩幅線(xiàn)段圖，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：兩幅圖中的三個(gè)量已知的變成未知，未知的變成已知，但他們的關(guān)系也沒(méi)有變。師：什么樣的關(guān)系？生1：擦桌椅的人數(shù)÷掃地的人數(shù)=3倍。生2：掃地的人數(shù)×3倍=擦桌椅的人數(shù)生3：掃地的人數(shù)看成1份，擦桌椅的人數(shù)里有若干個(gè)掃地的人數(shù)。

通過(guò)這一環(huán)節(jié)的設(shè)置，學(xué)生能夠清楚的理解在有關(guān)倍的問(wèn)題中有三種量：標(biāo)準(zhǔn)量（看作1份的量）、比較量（里面有若干個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量的量）和幾倍數(shù)（表示另兩種量的倍比關(guān)系），這三種量之間有著固定的關(guān)系：即“比較量”里有“幾倍數(shù)”個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)量”。

三、專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)，豐富與倍有關(guān)的知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)

練習(xí)是我們課堂上的一個(gè)重要組成部分，學(xué)生在鞏固對(duì)倍本質(zhì)的理解以及解決有關(guān)倍的問(wèn)題都離不開(kāi)練習(xí)這一基本活動(dòng)。有效的練習(xí)不僅能使學(xué)生鞏固知識(shí)，發(fā)展學(xué)生的思維，也能有新的發(fā)現(xiàn)和運(yùn)用，從而鞏固而豐富知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)。因此教師應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和將要實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)設(shè)計(jì)一系列有效的練習(xí)。

【教學(xué)實(shí)踐】

1.獲取信息，編成應(yīng)用題。

課件出示情境圖（右圖），請(qǐng)學(xué)生選擇合適的信息，提出有關(guān)倍的問(wèn)題，編成一道應(yīng)用題。

（1）獨(dú)立解決問(wèn)題

（2）分析典型

①小鹿有18只，小猴有6只，小鹿的只數(shù)是小猴的幾倍？

②天鵝有8只，小兔的只數(shù)是天鵝的3倍，小兔有幾只？

（3）將信息填入線(xiàn)段圖中

請(qǐng)學(xué)生將兩題的信息填入空白信息的線(xiàn)段圖中

（4）分析解決問(wèn)題

根據(jù)線(xiàn)段圖顯示的信息分析量與量之間的關(guān)系，理清關(guān)系，解決問(wèn)題。

（5）對(duì)比兩幅線(xiàn)段圖

通過(guò)對(duì)比，發(fā)現(xiàn)兩組線(xiàn)段圖倍數(shù)關(guān)系一致，但一倍量不一樣。

本環(huán)節(jié)在教學(xué)過(guò)程中，有學(xué)生提出了這樣的問(wèn)題：“小鹿有18只，天鵝有8只，小鹿的只數(shù)是天鵝的幾倍？”通過(guò)列式“18÷8=”，發(fā)現(xiàn)不能整除，這樣的問(wèn)題超出了老師的預(yù)設(shè)，但我們不能進(jìn)行冷處理，而應(yīng)該有一定的教育機(jī)智，充分利用學(xué)生的課堂生成，通過(guò)追問(wèn)來(lái)放大它的價(jià)值。這就是有余數(shù)除法，對(duì)于“18÷8=2……2”進(jìn)行追問(wèn)兩個(gè)“2”分別是什么意思？引出“一個(gè)數(shù)是另一個(gè)的幾倍多或少幾”的問(wèn)題，使學(xué)生感受到前面學(xué)習(xí)的有余數(shù)除法和“倍”的問(wèn)題之間的密切聯(lián)系，并且感知兩種量的關(guān)系可以是倍比關(guān)系和差比關(guān)系共存。此外，用線(xiàn)段圖來(lái)表示他們的關(guān)系，讓學(xué)生深刻感知線(xiàn)段圖對(duì)于呈現(xiàn)量與量之間關(guān)系的強(qiáng)大功能性。

線(xiàn)段圖的分析是一種數(shù)形結(jié)合的方法，讓學(xué)生將抽象的條件和問(wèn)題轉(zhuǎn)化成形象的線(xiàn)段，能夠明確問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，這在教學(xué)“解決有關(guān)倍的問(wèn)題”時(shí)起了很大的推進(jìn)作用，學(xué)生兩次畫(huà)圖，經(jīng)歷了數(shù)量關(guān)系的建構(gòu)過(guò)程，通過(guò)對(duì)比提煉數(shù)量關(guān)系，理清有關(guān)倍的問(wèn)題中標(biāo)準(zhǔn)量、比較量和幾倍數(shù)之間的關(guān)系。學(xué)生能夠體會(huì)線(xiàn)段圖強(qiáng)大的工具性功能，為將來(lái)利用線(xiàn)段圖解決更復(fù)雜的問(wèn)題做鋪墊。

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