同一法的規范原則

蔡思凡 肖前軍 鄧總綱

摘?要：做數學證明題時，往往優先選擇直接證明的方法。對于一些直接證明存在困難的問題，可以選擇反證法或者同一法。然而，在數學教學過程中，同一法的使用頻率卻很少，僅在少數幾何資料中，存在同一法的簡單運用。通過查找許多國內外資料，發現對同一法的介紹相當簡單，甚至沒有找到同一法的嚴格定義。故本文借助映射的概念，闡述了同一法的本質，并通過定義逆映射，最后為同一法的使用給出了一個規范的原則。并通過逆映射，為可以運用同一法的問題，打開一個潘多拉魔盒。

關鍵詞：映射;同一法;證明

一、問題背景

同一法 （symmetrical method） 的概念雖然存在，但是國內外資料，并沒有同一法的嚴格定義。僅找到對同一法的簡單介紹，要求使用同一法的問題，需要條件與結果都是唯一的， 如文獻[1-3]基本都提出了“題設和結論對象都是唯一”的同一原理，然而這一觀點卻存在一定的局限性，并未完全闡述清楚同一法的本質原理。

本文將以映射為工具，發現題設和結論對象都是唯一，其實僅考慮了題設與結論一一映射的情況，而對于更一般的情況未作介紹，這可能導致一些本可以很好地運用同一法解決的問題，而被誤認為不符合同一原則。

比如，一個不熟悉地球各國國情的外星人，面對證明題“臺灣省所屬的國家是中國?！?它只需要驗證中國有一個省叫臺灣省，問題就解決了。然而，這個問題初看起來似乎是滿足一一映射的同一原理。因為只有中國只有一個臺灣省，臺灣省也僅屬于中國。仔細分析不難發現，臺灣省并不是唯一確定中國的因素，比如湖南省所在的國家也是中國，中國有23個省和5個自治區及4個直轄市。很明顯，省與中國的對應關系是23對1，并非1對1的。而且很明顯可以運用同一法解決。

為了徹底弄清同一法的使用原則，先將問題模型化。條件m所在的集合記為M，結論n所在的集合記為N。我們需要證明的就是在條件f下，m可以證明n。簡記為f（m）=n。如證明題“臺灣省所在成的國家是中國。”臺灣省就是m，中國就是n，然而m∈M，M={中國的23個省}，n∈N，N={所有的國家}臺灣省僅是中國的23個省中的一個，可以使用同一法。不妨將模型結構抽象拓撲圖如下：

顯然，這一模型的抽象拓撲圖與單值映射拓撲圖相同。故有必要引入映射的概念，為方便討論，還定義一個新的逆映射。

二、 背景知識

單值映射： 兩個非空集合M和N之間存在一個對應關系f，對于集合M中的每個元素m，集合N中總存在唯一的元素n與之對應，這種對應關系是從M到N的單值映射，稱為f：M→N，其中N在單值映射f下的元素稱為M的象，記為f（M），M被稱為單值映射f的原像。元素與元素之間的映射關系，簡記為f（m）=n。

明顯定義包含兩層意思，一是元素m與n之間存在關系，二是每一個原象m，僅有唯一的象n與之對應。

逆映射： 映射f的象f（M）和原象M之間存在一個對應關系f-1，對于集合f（M）中的每個元素n，集合M中總存在元素m與之對應，這種對應關系是從象f（M）到原象M的逆映射，記為f-1：f（M）→M。

經分析發現，同一法的使用原則僅用“題設和結論都唯一”并不合適。題設與結論只需滿足單值映射關系，也就是題設可以是多個可變的中的一個，只要結論唯一即滿足同一法的使用原則。因此，可以將同一法的使用步驟規范如下：

四、案例應用

例1： 已知如圖，在正方形ABCD中，∠BAO=∠ABO=15°，求證：△OCD是等邊三角形。

這是一道經典的初中平面幾何證明題，由于在平面幾何的限制下，題設與條件有唯一確定的關系，因此可以通過同一法，將原題簡化為：

同一法變例1： 在正方形ABCD中，△OCD是等邊三角形，求證：∠BAO=∠ABO=15°。

然而若將此題不再限于平面幾何，則OBC可以繞CD旋轉，此時原例的題設雖然有∠DAO=∠ADO，但是其大小α會隨著△OBC所在的面與正方形平面間的二面角的平面角β的大小而變化。

變例2： 已知正方形ABCD與△OCD的二面角的平面角為β，其中∠BAO=∠ABO=α，且，求證：△OCD是等邊三角形。

故同一原理，原題可以變為，

上述例題和變例的證明都比較簡單，為節省篇幅，這里不給出證明。很明顯，變例比原來的例1考慮的情況更為廣泛，一般情況變例2應該包含原例1，但是奇怪的是，當α=15°，β=0°時，卻不成立。

五、結束語

同一法的使用原則，不僅規范了同一法的使用步驟，而且似乎打開了一個潘多拉魔盒，通過逆映射求解出結論的原象集中的元素，隨時可以替換原題設，使得原本題設與結論的固定關系變得靈活了起來。有意思的是，本文通過例1運用逆映射，打開的潘多拉魔盒變例2卻不包含例1，原因是變例2使用了三角形知識。

參考文獻：

[1]胡炳生.關于同一法的兩個認識問題[J]《數學通報》1996 -06

[2]王學賢.淺析同一法[J]《數學教學通訊》1984-06

[3]辛自力.關于同一法原理[J]《開封教育學院學報》1993-04