核心素養(yǎng)導(dǎo)向壓軸題的多視角透視挖掘

李積玲

摘 要：本文通過對(duì)一道中考數(shù)學(xué)壓軸題的一題多解，多角度探討如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：中考數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)素養(yǎng);一題多解;圓錐曲線;面積;最值

數(shù)學(xué)是非常重要的一門學(xué)科。在培養(yǎng)一個(gè)人的邏輯思維、問題解決能力等方面，數(shù)學(xué)擁有其他學(xué)科不具備的優(yōu)勢(shì)。培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，應(yīng)從中小學(xué)抓起。在中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)階段，中考試題的核心素養(yǎng)導(dǎo)向就顯得格外重要。我們知道，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析等方面。下面，我們以2019年東營市中考數(shù)學(xué)壓軸題25（2）題為例，通過對(duì)該題目的多視角解析，透視挖掘數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

原題呈現(xiàn)：25.（本小題12分）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.

（1）求這條拋物線的解析式;

（2）如圖1，點(diǎn)P是第三象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABPC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

原題（1）解析：將點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入拋物線解析式，可求出a，b的值，即得拋物線解析式：.

原題（2）分析：點(diǎn)P是第三象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形ABPC的面積有些部分是不變的，例如△AOC的面積是一定值。所以四邊形ABPC的面積變化實(shí)質(zhì)上是四邊形OBPC的面積的變化。

原題（2）部分多視角分析：

視角一：將四邊形分割為：直角梯形+直角三角形

過點(diǎn)P作PM⊥AB，垂足為M.

設(shè)點(diǎn)，則，由題意得的坐標(biāo)分別為

∴當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大為，此時(shí) .

視角透視：四邊形的面積被分割成了三部分，其中有一部分的面積是固定的，有兩部分的面積是隨著P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而變化的。通過設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，用含有未知數(shù)x的表達(dá)式表示出四邊形的面積，從而思考面積表達(dá)式的最值問題。

視角二：將四邊形分割為：兩個(gè)三角形

連接PO，過點(diǎn)作軸，垂足為M，過點(diǎn)P作PQ⊥y軸，垂足為Q.

∴當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大為，此時(shí)P的坐標(biāo)為.

視角透視：四邊形的面積被分割成了三部分，其中有一部分的面積是固定的，有兩部分的面積是隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而變化的。通過設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，用點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的表達(dá)式表示出四邊形的面積，發(fā)現(xiàn)更容易理解和計(jì)算面積表達(dá)式的最值問題。

視角三：將四邊形分割為：直角三角形三角形

連接BC，過點(diǎn)P作PM⊥AB，垂足為M，交BC與點(diǎn)N.設(shè)點(diǎn)，則.又因的坐標(biāo)分別為，所以BC的解析式為，進(jìn)而點(diǎn)的坐標(biāo)可以設(shè)為.

∴當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大為，此時(shí)P的坐標(biāo)為.

視角透視：四邊形的面積被分割成了三部分，其中有兩部分的面積是固定的，有一部分的面積是隨著P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而變化的。通過設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，用含有未知數(shù)x的表達(dá)式表示出四邊形的面積，從而思考面積表達(dá)式的最值問題。

視角四：將四邊形分割為：直角三角形+三角形----平行線的介入

連接BC，過點(diǎn)P作直線l∥BC.因?yàn)榈淖鴺?biāo)分別為，所以BC的解析式為，那么直線l的解析式可以設(shè)為.因?yàn)橹本€l與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，四邊形ABPC的面

視角透視：四邊形的面積被分割成了三部分，其中有兩部分的面積是固定的，有一部分的面積是隨著P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而變化的。當(dāng)點(diǎn)P距離直線BC越遠(yuǎn)，也就是過點(diǎn)P的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，這部分變化的面積才會(huì)達(dá)到最大值。直線的介入，將圖形面積最值問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的判別式的問題。這充分體現(xiàn)了代數(shù)與幾何的有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)了函數(shù)思想的力量。

視角透視：四邊形的面積被分割成了三部分，其中有兩部分的面積是固定的，有一部分的面積是隨著P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而變化的。作出這個(gè)變化圖形的高線，計(jì)算高線的最值，從而求出圖形面積的最值。這里直線是一條與第二四象限角平分線平行的直線，那么與垂直的直線就是一條與第一三象限角平分線平行的直線，所以直線的傾斜方向就確定了。點(diǎn)是兩條直線的交點(diǎn)，點(diǎn)是直線、拋物線的交點(diǎn)，那么的距離就可以計(jì)算出來。這里應(yīng)用了一個(gè)技巧：的長(zhǎng)度是兩點(diǎn)橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值的倍，這樣表示會(huì)更簡(jiǎn)潔。當(dāng)然這里的表達(dá)式還需要利用換元的思想求解會(huì)更顯巧妙。

視角透視：四邊形的面積被補(bǔ)整為一個(gè)三角形和一個(gè)矩形的面積和，所求四邊形的面積在整體中減去兩個(gè)直角梯形即可。這兩個(gè)直角梯形的面積是隨著P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而變化的。通過設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，用P點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的表達(dá)式表示出四邊形的面積，從而得以解決面積表達(dá)式的最值問題。

核心素養(yǎng)的梳理挖掘：當(dāng)我們從不同的視角來透視解答這道平面直角坐標(biāo)系背景下的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)，可以深刻體會(huì)到數(shù)學(xué)抽象與幾何直觀的巧妙結(jié)合。以上六種解題方法是數(shù)學(xué)建模思想下的自然結(jié)果，其中運(yùn)用的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)透視是巧妙解題的一把利器。把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)內(nèi)化為自己的素養(yǎng)，還需在中考數(shù)學(xué)壓軸題中多加歷練。

觸類旁通：經(jīng)系統(tǒng)研習(xí)2019年山東省其他地市中考數(shù)學(xué)壓軸題，我們發(fā)現(xiàn)：2019年棗莊市中考數(shù)學(xué)25（2）題與本文所透視的問題類似;2019年萊蕪市中考數(shù)學(xué)24（2）題、2019年臨沂市中考數(shù)學(xué)26（3）題、2019年泰安市中考數(shù)學(xué)24（2）題，分別賦予變化的三角形的面積為一定值，求點(diǎn)P的坐標(biāo);2019年濱州市中考題26（2）題，類似“視角四”，求高線的最值問題;2019年濰坊市四區(qū)模擬一25（2）題，類似“視角二”求P點(diǎn)坐標(biāo)。