核心素養導向壓軸題的多視角透視挖掘

李積玲

摘 要：本文通過對一道中考數學壓軸題的一題多解，多角度探討如何培養學生的數學核心素養。

關鍵詞：中考數學;數學素養;一題多解;圓錐曲線;面積;最值

數學是非常重要的一門學科。在培養一個人的邏輯思維、問題解決能力等方面，數學擁有其他學科不具備的優勢。培養數學核心素養，應從中小學抓起。在中學數學的教學階段，中考試題的核心素養導向就顯得格外重要。我們知道，數學學科核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析等方面。下面，我們以2019年東營市中考數學壓軸題25（2）題為例，通過對該題目的多視角解析，透視挖掘數學核心素養。

原題呈現：25.（本小題12分）已知拋物線經過點，與y軸交于點C.

（1）求這條拋物線的解析式;

（2）如圖1，點P是第三象限內拋物線上的一個動點，當四邊形ABPC的面積最大時，求點P的坐標。

原題（1）解析：將點A，B的坐標代入拋物線解析式，可求出a，b的值，即得拋物線解析式：.

原題（2）分析：點P是第三象限內拋物線上的一個動點，當點P運動時，四邊形ABPC的面積有些部分是不變的，例如△AOC的面積是一定值。所以四邊形ABPC的面積變化實質上是四邊形OBPC的面積的變化。

原題（2）部分多視角分析：

視角一：將四邊形分割為：直角梯形+直角三角形

過點P作PM⊥AB，垂足為M.

設點，則，由題意得的坐標分別為

∴當時，四邊形的面積最大為，此時 .

視角透視：四邊形的面積被分割成了三部分，其中有一部分的面積是固定的，有兩部分的面積是隨著P點的運動而變化的。通過設點P的坐標，用含有未知數x的表達式表示出四邊形的面積，從而思考面積表達式的最值問題。

視角二：將四邊形分割為：兩個三角形

連接PO，過點作軸，垂足為M，過點P作PQ⊥y軸，垂足為Q.

∴當時，四邊形的面積最大為，此時P的坐標為.

視角透視：四邊形的面積被分割成了三部分，其中有一部分的面積是固定的，有兩部分的面積是隨著點的運動而變化的。通過設點的坐標，用點橫縱坐標的表達式表示出四邊形的面積，發現更容易理解和計算面積表達式的最值問題。

視角三：將四邊形分割為：直角三角形三角形

連接BC，過點P作PM⊥AB，垂足為M，交BC與點N.設點，則.又因的坐標分別為，所以BC的解析式為，進而點的坐標可以設為.

∴當時，四邊形的面積最大為，此時P的坐標為.

視角透視：四邊形的面積被分割成了三部分，其中有兩部分的面積是固定的，有一部分的面積是隨著P點的運動而變化的。通過設點P的坐標，用含有未知數x的表達式表示出四邊形的面積，從而思考面積表達式的最值問題。

視角四：將四邊形分割為：直角三角形+三角形----平行線的介入

連接BC，過點P作直線l∥BC.因為的坐標分別為，所以BC的解析式為，那么直線l的解析式可以設為.因為直線l與拋物線只有一個交點時，四邊形ABPC的面

視角透視：四邊形的面積被分割成了三部分，其中有兩部分的面積是固定的，有一部分的面積是隨著P點的運動而變化的。當點P距離直線BC越遠，也就是過點P的直線與拋物線只有一個交點時，這部分變化的面積才會達到最大值。直線的介入，將圖形面積最值問題轉化為兩個函數圖象交點個數的問題，進而轉化為一元二次方程根的判別式的問題。這充分體現了代數與幾何的有機結合，體現了函數思想的力量。

視角透視：四邊形的面積被分割成了三部分，其中有兩部分的面積是固定的，有一部分的面積是隨著P點的運動而變化的。作出這個變化圖形的高線，計算高線的最值，從而求出圖形面積的最值。這里直線是一條與第二四象限角平分線平行的直線，那么與垂直的直線就是一條與第一三象限角平分線平行的直線，所以直線的傾斜方向就確定了。點是兩條直線的交點，點是直線、拋物線的交點，那么的距離就可以計算出來。這里應用了一個技巧：的長度是兩點橫坐標差的絕對值的倍，這樣表示會更簡潔。當然這里的表達式還需要利用換元的思想求解會更顯巧妙。

視角透視：四邊形的面積被補整為一個三角形和一個矩形的面積和，所求四邊形的面積在整體中減去兩個直角梯形即可。這兩個直角梯形的面積是隨著P點的運動而變化的。通過設點P的坐標，用P點橫縱坐標的表達式表示出四邊形的面積，從而得以解決面積表達式的最值問題。

核心素養的梳理挖掘：當我們從不同的視角來透視解答這道平面直角坐標系背景下的拋物線上的動點問題時，可以深刻體會到數學抽象與幾何直觀的巧妙結合。以上六種解題方法是數學建模思想下的自然結果，其中運用的邏輯推理、數學運算和數據透視是巧妙解題的一把利器。把數學核心素養內化為自己的素養，還需在中考數學壓軸題中多加歷練。

觸類旁通：經系統研習2019年山東省其他地市中考數學壓軸題，我們發現：2019年棗莊市中考數學25（2）題與本文所透視的問題類似;2019年萊蕪市中考數學24（2）題、2019年臨沂市中考數學26（3）題、2019年泰安市中考數學24（2）題，分別賦予變化的三角形的面積為一定值，求點P的坐標;2019年濱州市中考題26（2）題，類似“視角四”，求高線的最值問題;2019年濰坊市四區模擬一25（2）題，類似“視角二”求P點坐標。