在“變”中修煉 在“思”中提升

侯書紅 張利橙

摘 要：真正地領(lǐng)悟一道數(shù)學(xué)題的解法，其過程中充滿了各種曲折和障礙，需要我們不斷地修煉，通過不斷地修煉方可尋覓到完美的解法。本文針對一道高三月考題進(jìn)行不斷修煉，包括問題的解法修煉，問題的變式修煉，使問題一步一步地升華呈現(xiàn)。修煉出的不僅是解題方法，而且還有思維與數(shù)學(xué)思想。

關(guān)鍵詞：一題一課;修煉

一、問題背景

圓錐曲線問題的解決常常需要把代數(shù)與幾何數(shù)形結(jié)合來分析，甚至平時還需要修煉出一些簡單的結(jié)論（二級考點(diǎn)）。如果學(xué)生做完題不去修煉（思考），挖掘核心考點(diǎn)，即便做了百道題甚至千道題，那又能怎么樣？高考時遇到解析幾何仍然做不對！解析幾何問題的考查一直以來都是學(xué)生的難點(diǎn)。本文將通過一個題來揭示如何修煉出圓錐曲線問題解決的本質(zhì)。

二、基于一題一課的復(fù)習(xí)課主線設(shè)計

1.問題呈現(xiàn)，修煉一題多解

問題 已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則為坐標(biāo)原點(diǎn)，若且，

則______________.

設(shè)計意圖：本節(jié)課以2020屆云南名校月考卷的一道題目作為問題起點(diǎn)拋出，啟發(fā)學(xué)生思考解決方法。

思路一：因為，所以，此時，則直線的直線方程為再代入得，易知，所以.

思路二：因為，所以，此時，則直線的斜率易得

思路四：因為，所以，此時，則直線的直線方程為，即，再代入易知，所以.

在已知條件下，根據(jù)拋物線的定義和幾何性質(zhì)，在啟發(fā)學(xué)生從不同思路解決問題的過程中，修煉了學(xué)生發(fā)散性思維，加強(qiáng)知識的融會貫通，點(diǎn)燃學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

2.問題驅(qū)動，修煉一題多變

變式1 已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則為坐標(biāo)原點(diǎn)，若且，則

______________.

一般推廣、深化理解。設(shè)，則有如下的二級考點(diǎn)：

設(shè)計意圖：在多種思路解決了問題1后，學(xué)生很容易類比運(yùn)用1，2，3結(jié)論得出該題很多不同的解決方案，通過變式進(jìn)一步修煉和體會其中的思想方法。

變式2 已知拋物線，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則為坐標(biāo)原點(diǎn)，若且，則______________.

設(shè)計意圖：變式2轉(zhuǎn)換角度，已知直線不再過焦點(diǎn)，跳出焦半徑的慣性思維，啟發(fā)學(xué)生回到一般直線的探究，修煉出的結(jié)論竟是一樣的！從特殊點(diǎn)到一般點(diǎn)，得出了一致的結(jié)論，既能開拓思維，幫助學(xué)生理解，更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)探索的魅力，激發(fā)學(xué)生探索的興趣！

3.類比遷移，拓展延伸

在拋物線中修煉出的結(jié)果能否推廣到橢圓呢？進(jìn)一步探究：試想想橢圓會有怎樣的結(jié)論呢？

變式3 已知點(diǎn)是橢圓C ：

的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若且

設(shè)計意圖：從拋物線到橢圓，相同的條件，引導(dǎo)學(xué)生在類比遷移修煉中更深刻地體會解析幾何的解題思想。

變式4 已知橢圓，過點(diǎn)的直線與橢圓交于交于兩點(diǎn)，則為坐標(biāo)原點(diǎn)，若且，則______________.

設(shè)計意圖：從特殊點(diǎn)到一般點(diǎn)，類比拋物線的探究，依然可得出相同的結(jié)論，實現(xiàn)了橢圓的結(jié)論統(tǒng)一！

4.修煉心得，總結(jié)提升

不難發(fā)現(xiàn)是解題通法。

【設(shè)計反思】

這是一節(jié)高三專題復(fù)習(xí)課，通過對一個月考題的一題多解、一題多變修煉與探索，巧妙地借題發(fā)揮，引導(dǎo)學(xué)生參與到發(fā)現(xiàn)與解決問題的情境中，在變中突出不變的解題方法，真正做到講一題、通一類。整節(jié)課5個題目的探索，從拋物線到橢圓，從焦點(diǎn)到一般點(diǎn)，圍繞著一個主線，得出相似的結(jié)論。既解決了這一類問題，又在探索方法上給了學(xué)生不斷的修煉，體現(xiàn)著數(shù)學(xué)之美。

例如：2018年全國卷數(shù)學(xué)理科第19題

設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過的直線與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（1）當(dāng)與軸垂直時，求直線AM的方程;

（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：.

【解析】

【修煉心得】

（1）本題第二問既考查了學(xué)生的抽象思維，又考查了學(xué)生等價化歸即轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，具體體現(xiàn)在證明兩角相等轉(zhuǎn)化為證明的斜率與的斜率相反。

（2）本題第二問深入分析可得：設(shè)過圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的焦點(diǎn)的直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)與相應(yīng)準(zhǔn)線與圓錐曲線的對稱軸交點(diǎn)連成，則平分.

（3）本題第二問的方法研究有利于今后的教學(xué)與高考復(fù)習(xí)，實際可以利用圓錐曲線的第二定義及相似三角形來證，這里不再贅述，留給學(xué)子們思考。

【備考建議】

從一題多解到一題多變的基于“一題一課”的復(fù)習(xí)課主線設(shè)計可以看出數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不僅僅是刷題，更重要的是追求解題的效益，修煉數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思維。常言道：“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆”，如果只片面地追求刷題的數(shù)量，而忽視了問題的本質(zhì)與方法的修煉，那么做千道題甚至萬道題又怎能體會到問題的味道？因此，教師在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中要進(jìn)行深度研究，引導(dǎo)學(xué)生不斷思考，修煉學(xué)生的數(shù)學(xué)方法與思維，使思維得到自然發(fā)散，擺脫題海戰(zhàn)術(shù)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)和探索的熱情，點(diǎn)燃思維的火花，提高學(xué)生復(fù)習(xí)效率。

參考文獻(xiàn)：

[1]2020屆云南名校月考題.

[2]2018年全國卷I理科19題.

[3]吳立建， 滕連敏. 一題一課理念下的教學(xué)設(shè)計與思考——以2016年溫州市數(shù)學(xué)中考試卷第10題為例[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)， 2017（10）：18-20+37.

[4]劉國祥. 基于"三個理解"的一題一課教學(xué)設(shè)計與思考——以2017年江蘇數(shù)學(xué)高考試卷第20題為例[J]. 中小學(xué)數(shù)學(xué)：高中版， 2018（1）： 8-10.

[5]王榮. 關(guān)于高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)教學(xué)的幾點(diǎn)思考[J]. 中國數(shù)學(xué)教育， 2010（Z3）.