立意于“基本經驗”的“相似三角形判定定理3”課例及分析

田海霞

摘 要：幫助學生積累基本經驗是數學教學的重要目標。但在以“相似三角形判定定理3”為載體的研修活動中發現，教師設計與組織的數學活動普遍不能滿足學生積累基本經驗的需要。鑒于此，本文在重復式觀課與反思基礎上，針對課程授課活動展開重建，在經過改善以后的教育成果被眾多教師所認同。

關鍵詞：基本經驗;相似三角形判定定理;教學方法;案例分析

一、背景介紹

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“幫助學生積累數學活動經驗是數學教學的重要目標”。但在以浙教版《數學》九年級上冊第四章第4節“相似三角形的判定定理3”為載體的“多人同課異構”式的研修活動中發現，教師設計與組織的數學活動普遍不能滿足學生積累基本數學經驗的需要。網上查閱同類課例發現也有類似現象。鑒于此，本研究在重復式觀課以及反思的前提下，針對課程授課活動展開重建，在經過改善以后的教育成果被眾多教師所認同。

二、教學實錄

環節1：經歷回顧并提出問題的過程——明確研究問題

師：我們知道，有一個角對應相等的兩個三角形不一定相似;有兩個角對應相等的兩個三角形相似;兩邊對應成比例的兩個三角形不一定相似;兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似（已知角不是夾角的不一定相似）。三邊對應成比例的兩個三角形相似嗎？本節課就來研究這個問題。（揭示課題）

環節2：探索三角形相似的條件——生成相似三角形判定定理3

師：現在請大家依次完成下列任務。

（1）在白紙上畫一個△ABC。

（2）作一個△A'B'C'，使.

（3）議一議：△ABC與△A'B'C'是不是相似三角形。

（待學生完成任務）

師：△ABC與△A'B'C'相似嗎？

生1：好像相似。但說不出它們對應角相等的理由。

師：其他同學探索結果如何？

眾生：好像相似，但需要證明。

師：好的。我們雖然不能完全肯定，但可以提出這樣的猜想：三邊對應成比例的兩個三角形相似。證明該猜想是準確的，需要學生按照順序完成下面的任務活動。

（1）在所畫的圖形上標注已知條件。

（2）結合圖形寫出已知與求證。

（待學生完成任務）

師：如圖1，要證△ABC∽△A'B'C'，只要證什么？

生2：只要證△ABC與△A'B'C'的其中一對內角相等。

師：有道理。能證它們的其中一對內角相等嗎？好像“已知與求證”難以溝通。

生3：如圖1，像證相似三角形判定定理1和判定定理2一樣，在△A'B'C'中構造△A'DE，使△A'DE≌△ABC，只要證△A'DE∽△A'B'C'.

師：有道理。怎樣構造△A'DE，使△A'DE∽△A'B'C'且△A'DE≌△ABC？

生4：如圖1，在△A'B'C'的A'B'邊上截取A'D=AB，過點D作DE∥B'C'，交A'C'于點E，則△A'DE∽△A'B'C'（預備定理）。

師：好的。要證△A'DE≌△ABC，只要證什么？

生5：因為A'D=AB（作圖），只要證A'E=AC， DE=BC.

師：好的。怎樣證A'E =AC，DE=BC？

眾生：困惑、期待。

師：因為△A'DE∽△A'B'C'，所以，

又因為A'D=AB，所以，

因為（已知），所以，

所以A'E=AC.同理DE=BC.

這樣△A'DE∽△A'B'C'且△A'DE≌△ABC，

所以△ABC∽△A'B'C'.

師：請大家把證明過程完整地寫出來，若有困難，可參考課本的寫法。

（待學生完成任務）

師：證明這個判定定理的基本思路是什么？

生6：根據相似三角形的傳遞性，通過構造全等三角形來證明。

生7：通過構造全等三角形把分散的條件集中起來。

師：有道理。我們根據相似三角形傳遞性，用構造全等三角形的方法來實現化歸（把分散的兩個三角形轉化為預備定理的幾何模型，從而使分散的條件相互溝通）。這種化歸思想以后會經常用到。

師：證A'E=AC的基本思路是什么？

生8：用兩組比例線段來傳遞邊的相等關系。

師：非常好！這種用等量傳遞的方法來證線段相等以后也會經常用到。

環節3：參與嘗試定理應用的活動——合作解決有代表性的問題

師：現在判斷兩個三角形相似有哪些方法？

生9：相似三角形的定義、預備定理、判定定理1、判定定理2和判定定理3.

師：不錯。下面我們一起來解決下列問題1.

問題1：如圖2，4×4方格中的兩個三角形是否相似？為什么？

師（稍停頓后）：要判斷圖中的兩個三角形是否相似，找邊的關系容易，還是找角的關系容易？

生10：找邊的關系容易。因為圖中三角形每條邊的長度可以算出來的。

師：有道理。若設每一個小方格的邊長為1，則每個三角形的邊長是多少？

生11：

師：好的。AB、BC、CA的對應邊分別是什么？它們是否對應成比例？

生12：AB、BC、CA的對應邊分別是EF、FD、DE.因為，所以它們對應成比例。

師：好的。請大家把解題過程完整地寫出來。

（待學生完成任務）

師：下面我們再一起來解決下列問題2.

問題2：已知：如圖3，O為△ABC內一點，A'，B'，C'分別是OA，OB，OC上的點，且.求證：△A'B'C'∽△ABC.

師：根據已知條件，在圖中你能發現哪幾對相似三角形？

生13：根據已知條件可推出：△OA'B'∽

△OAB，△OB'C'∽△OBC，△OC'A'∽△OCA.

師：不錯。由此，可推出哪些成比例的關系式？

生14：.

師：好的。這樣△A'B'C'∽△ABC嗎？為什么？

生15：因為，

所以△A'B'C'∽△ABC.

師：好的。請大家把證明過程完整地寫出來。若有困難，請參考課本的寫法。

（待學生完成任務）

師：解決這個問題的基本思路是什么？

生16：用等量傳遞來尋找所需要的成比例線段。

師：不錯。等量傳遞的解題經驗以后會經常用到。如圖4，若將圖3中的點O移到BC上，且，則△A'B'C'∽△ABC嗎？為什么？

生17：△A'B'C'∽△ABC.

因為，∠B'OA'=∠BOA，

所以△B'OA'∽△BOA，所以∠A'B'O=∠B.

同理可得，∠A'C'O=∠C，所以△A'B'C'∽△ABC。

生18：因為△B'OA'∽△BOA，

所以，∠B'A'O=∠BAO.

同理可得，，∠C'A'O=∠CAO，

所以，∠B'A'C'=∠BAC，

所以△A'B'C'∽△ABC.

師：好的。下面請大家完成課本中的練習題。

（待學生完成任務后教師組織學生交互反饋與評價）。

環節4：參與回顧與思考的活動——合作進行反思與總結

師：本節課研究了哪些內容？

生19：本節課研究了相似三角形判定定理3及其應用。

師：好的。我們是怎樣研究的？

生20：先探索并證明判定定理3，再用判定定理3解決幾何問題。

師：不錯。大家在學習過程中還有哪些收獲或體會？

生21：當直接證兩個三角形相似有困難時，可考慮用相似三角形的傳遞性。

生22：等量傳遞是溝通已知與未知的橋梁。

生23：等量傳遞也是證線段相等或角相等的方法。

師：好！等量傳遞是解題的基本經驗，在后繼學習中會經常用到。

三、教學分析

張奠宙教授覺得數學活動經驗主要指的是“在數學目標的不斷引導之下，針對實際事物展開思考以及操作，實現感性向理性的轉變，進而形成新型認知”。基于此分析表明，教育教學經驗主要是在思考以及做當中經過沉淀得到的。所以教師需要依照具體的教育內容進行設計，并且組織多種活動的順利展開，讓學生可以掌握更多的學習經驗。相似三角形判定定理3也是判定兩個三角形相似的重要工具;證明相似三角形判定定理3的基本思路對后繼學習有指導作用。探索與證明判定定理3的過程和所蘊含的歸納思想、類比思想、構造思想、演繹思想等，定理的應用過程和所蘊含的數形結合思想及等量傳遞的經驗等，這些對發展學生的智力、能力和個性有積極的影響。盡管判定定理3及其證明方法“課標要求”是“了解”，但定理的探索與證明的過程有能力發展點，特別是通過構造全等三角形來實現化歸的思想方法和等量傳遞的解題經驗對后繼學習有指導作用。目前在該課的教學中，大多數教師沒有經歷分類探索的過程;有些教師缺乏探索定理的過程;某些教師會對定理以前的具體分析過程進行證明;在判定定理以后缺少相應的反思活動;大多數教師在認知過程中沒有留給學生足夠的自主思考與實踐的時間和合作交流的機會。這不能滿足學生積累基本數學經驗的需要。

本課例在“精致化”分析基礎上，把具體的教育活動立足在數學經驗方面，由學生掌握的知識點與技能著手分析，并且讓他們處理與解決實際數學問題，在對問題進行探究分析的時候，讓他們積累更多的經驗。將課本內容當做是關鍵，經過教師價值方面的指引，和學生的實際情況有效整合起來，提升他們的認知水平與能力。在現階段的“回顧并提出問題”實際授課的時候，一方面需要對三角形判定有關內容進行回顧，另一方面也提出有關問題，采取合理的措施和方式方法，實現新知識和舊知識之間的良好關聯，激發出學生的學習激情以及欲望。在“探索并證明判定定理3”實際授課的時候，不只是憑借現有的經驗參與到“畫圖猜想→分析證明→多樣表達”的過程，以獲得判定定理3及發展探索與證明的能力，并且做好判定定理反思，以積淀用構造全等三角形來實現化歸和用兩組比例線段來傳遞邊的相等關系的數學活動經驗。在“解決問題1”的教學中，一方面需要做好判斷以前的分析，另一方面也要做好判斷以后的說理，對判定定理3進行鞏固，提升學生的計算能力與水平。在“解決問題2”的教學中，既有證明之前的觀察，以發展學生的觀察能力，又有解決問題2之后的反思與變式，以積淀等量傳遞的經驗和加深對問題的認識。在“回顧與思考”的教學中，既有回顧研究內容，又有回顧研究方法，還有學生談收獲或體會，以再認本節課的研究內容與研究方法及所蘊含的基本數學經驗。

大部分教師都覺得，該課程和定理教學要求相符合，將學生放在課堂的中心位置上，實現了過程和結果之間的良好統籌，能實現“能陳述并會用圖形和符號表示相似三角形判定定理3，能感悟證明

定理的思想方法及積淀用兩組比例線段來傳遞邊的相等關系的經驗;會用相似三角形判定定理與性質解決有關幾何問題”的教學目標。因此，一般地，定理教學要經歷“提出問題（從具體問題或特殊問題出發）→操作觀察（通過畫圖、實驗、計算等，觀察事物間的關系）→歸納猜想（由特殊猜想一般——歸納，由此及彼或觸類旁通——類比）→驗證或證明（簡單說理，舉反例，演繹證明）→多樣表達（口頭、數學文字、數學符號表達）→解決問題（解決數學內部與外部問題）→反思內化（感悟研究過程和所蘊含的數學思想及積淀數學活動經驗）”的過程，保障數學活動的順利展開，讓學生擁有足夠的自主探究機會，讓他們參與到合作溝通活動當中，將教師在具體課堂活動當中的主導性作用充分發揮出來。教師也需要加強對學生的評價，讓他們主動投入到課堂活動當中，增強他們對定理方面的認知，保障其“深度”以及“寬度”，讓學生可以提出某些數學問題，并且參與到獨立思考以及探究當中，提升他們的質疑水平與表達能力。

根據具體的授課活動分析，在當前的定理教育教學過程當中，教師應保障技能、知識與態度之間的統一。要求教師提升定理思維的主動性，不斷指引學生提高數學思維與邏輯思維。將“最近發展區”相關的題材內容當做是重要的載體，由學生掌握的知識點以及實際經驗著手，經過教師的價值指引，和學生學習之間有效整合起來，讓他們掌握更多的數學知識點與技能，這對他們的可持續發展而言十分重要。例如，在課程實際授課的時候，教師需要保障自身設置問題的定向指導性，需要將適度開放的原則落實在實處。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]范良火.義務教育教科書·數學（九年級上冊）[M].杭州：浙江教育出版社，2014.