直觀圖一例的辨析與思考

摘 要：在直觀圖一節的教學中有很多問題容易引起師生的爭論，且無法以課本內容分析出確定的結論。下面以一例說明直觀圖中一些問題及筆者的分析，期待拋磚引玉，得到更多老師及同學對此問題的探索和高見。

關鍵詞：直觀圖;辨析;思考

引言：有一個角為60°的直角三角形，其直觀圖可否為等邊三角形？

教輔書上的答案是否定的，事實上，在很多教師和學生的認識中，直觀圖的畫法應該只有或者默認只有斜二測畫法。對于這個問題，首先，直觀圖顯然不能只有斜二測畫法這一種畫法，甚至未必是空間幾何體經過平行投影得到的圖形，教材上介紹的是“直觀圖是表示空間幾何體的平面圖形”。我們應該注意到，涉及到斜二測畫法的題目，會提到“由斜二測畫法得出的直觀圖”，若是默認，顯然無需此說。

基于以上分析，問題中的直觀圖我們未必要用斜二測畫法得出，那么，此題的結論究竟是否正確，若題中明確要求必須由斜二測畫法得出直觀圖，此題結論又是否正確？該如何分析？

一、有一個角為60°的直角三角形，其直觀圖可否為等邊三角形？

如圖，可以通過構造，我們將一個角為60°的直角三角形EFG的60°角FEG所對的邊FG放在投影面ABCD上，且令面EFG與面ABCD垂直。投影線EH與投影面ABCD所成角為30°，這樣，保證了EF的影子HF長度與三角形的邊FG相同，此時，只需同時保證投影線EH與面EFG所成角余弦值為（事實上，是為了保證三角形HFG三邊相等），即可使得三角形EFG在投影面ABCD上的投影為等邊三角形。

二、一般的直角三角形直觀圖可否為等邊三角形？

這個構造的方式與問題一中方式相同，可以構造出合適的投影線和投影面，使得一般的直角三角形直觀圖為等邊三角形。事實上，一般的三角形都可以通過構造使得其直觀圖為等邊三角形，構造方式并不困難。這里，就不構造證明了。

即我們通過對此例的探討，得出以下結論：任意三角形的直觀圖都可能為等邊三角形。

三、有一個角為60°的直角三角形，其由斜二測畫法得出的直觀圖可否為等邊三角形？

定理1：斜率為k的直線，在斜二測畫法得出的直觀圖中中直線的斜率為（將仿射坐標系中的點也看做平面直角坐標系xOy中的點）

利用這個引理，我們不妨設平面直角坐標系中兩直線斜率分別為k1，k2，①，若k1，k2還可以同時滿足②，則在平面直角坐標系中60°的角，在由斜二測畫法得出的直觀圖中是可能大小不變的。

聯立①②，可得③

不妨先假設k1，k2為方程的兩根，再證明方程確實有兩不同根即可。

由③可得，④

由①可得，

得到，

即，即⑤。

聯立④⑤可得該方程判別式，且兩根，不妨令則，使得b有解。且此時方程的判別式。

四、總結

綜上，有合適的k1，k2同時滿足①②，我們發現只要三角形在坐標系中放置的“方向”合適，完全可以使得60°角不發生變化，所以，這個觀點并不能解決第三個問題。

因此筆者采取如下方式解決：

定理2：xOy平面內的點（x，y）變換到平面內的坐標變為（將仿射坐標系中的點也看做平面直角坐標系xOy中的點）

建立坐標系，令，則為滿足條件的三角形。則變換后對應點坐標分別為若形成等邊三角形，則有，通過運算容易發現并無合適的α滿足上述條件，所以有一個角為60°的直角三角形，其由斜二測畫法得出的直觀圖不可能為等邊三角形。至此，問題三得到了解決。

參考文獻

[1]由斜二測畫法得到的直觀圖若干性質，上海中等數學.2009（9），39-40.

作者簡介：王爽（1983.7.21）女，漢族，哈爾濱德強學校高中部，中教一級，理學碩士，研究方向：應用數學