思維導圖在高中數學應用題教學中的探究

胡黨琴

摘 要：運用數學解決實際問題是學習數學的中終極目標。因此，高中數學教學應培養學生的運用意識，利用數學作為工具解決實際問題。本文主要從數學模型與思維導圖相結合江蘇高考應用題的解題策略。

關鍵詞：應用題教學;數學模型;思維導圖

應用題在高考占據著重要的地位，其主要考察高中生數學核心素養中數學建模素養，也是運用數學知識解決實際問題的集中體現。應用題的設置以貼近生活為背景，以數學建模為手段，以解決問題為目的的考察形式。有利于優化學生的思維品質，促進學生數學核心素養的形成，增強學生對數學的理解與應用，提高學生解決實際問題的能力。

然而學生在應用題的得分率并不是很高，究其原因是學生往往不會把實際問題轉化為抽象的數學思維，更不能利用數學思維建立數學模型，從而導致問題不能解決，在這一過程中，學生對信息的分析，提取，加工，轉化等環節出現一點偏差，都會導致得分下降。原因是應用題解題主要從信息的提取，加工，數學模型的建立以及模型的求解。其中模型的建立是聯系數學與實際應用的關鍵，數學模型在解題過程中是一種承上啟下的作用，模型未建立前所有的信息只想實際問題，模型建立之后，便將問題轉化為數學問題，以數學知識為工具解決相應的問題。

這里主要以江蘇高考應用題為例，以思維導圖為輔助，以幫助學生理清解決應用題的邏輯思維，以數學建模的思想解決實際問題。從而使學生對應用題有個更為深刻的認識。

例1（2019江蘇高考）如圖，一個湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）.規劃在公路l上選兩個點P、Q，并修建兩段直線型道路PB、QA.規劃要求：線段PB、QA上的所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑.已知點A、B到直線l的距離分別為AC和BD（C、D為垂足），測得AB=10，AC=6，BD=12（單位：百米）.

（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長;

（2）在規劃要求下，P和Q中能否有一個點選在D處？并說明理由;

（3）在規劃要求下，若道路PB和QA的長度均為d（單位：百米）.求當d最小時，P、Q兩點間的距離.

（1）思路：如上圖所示：求出PB的長，應該首先聯想到P點的位置，通過題中所給圖形，可以做出PB線段的草圖，再從題目中提取有關對PB描述的信息。在做完圖完成后，可轉化成在△PBC中，有關線段的求解的數學模型，借助于解三角形的知識即可求出結果。（2）思路：如上圖所示：在第（1）問中對信息的提取與加工，這一問只需要構建數學模型解決問題，通過上圖的流程，可以看出：將問題轉化成點到線的距離，借助于幾何知識或者解析幾何知識即可求出，最后做出比較，得出結果。

思路：如上圖所示：d最小，求PQ的長.在圖形中應該先找P的位置，Q的位置是受P的影響，所以找完P的位置后，再找Q的位置，利用解三角形數學知識即可解決，從而解出結果。

例2（2018江蘇高考）某農場有一塊農田，如圖所示，它的邊界由圓O的一段圓弧MPN（P為此圓弧的中點）和線段MN構成.已知圓O的半徑為40米，點P到MN的距離為50米.現規劃在此農田上修建兩個溫室大棚，大棚Ⅰ內的地塊形狀為矩形ABCD，大棚Ⅱ內的地塊形狀為△CDP，要求A，B均在線段MN上，C，D均在圓弧上.設OC與MN所成的角為θ.

（1）用θ分別表示矩形ABCD和△CDP的面積，并確定sinθ的取值范圍;

（2）若大棚Ⅰ內種植甲種蔬菜，大棚Ⅱ內種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產值之比為4：3.求當θ為何值時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產值最大.

思路：借助于思維導圖幫助學生對題目的理解：（如下思維導圖所示：）

借助于思維導圖，可以讓學生理清解題思路，按照思維導圖的流程圖的形式進行操作，使得學生突破數學模型的建立的難關，將冗長的應用題題目進行碎片式切割，使得學生能夠迅速的提取有用的信息，是解決應用題的有效途徑。思維導圖的導入既可以提高學生分析問題的能力，也可以提高學生解決問題的能力，從而提高學生的數學核心素養，對所學的數學知識有較為透徹的理解與認知，真正達到學以致用的效果。

參考文獻

[1]鄭力敏.淺析“思維導圖”在高中數學教學中的應用[J].學周刊，2019（23）：83.

[2]張慧芳.淺析高中數學應用題教學中對學生解題思路的培養[J].中國校外教育，2019（24）：127.