審題一針見血 求解立竿見影

摘 要：審題，顧名思義就是對題目的含義進行分析、研究，從而正確地把握問題，理解題意，明確題目要求，確定答題方式等.

關鍵詞：捕捉;關聯;轉化

中圖分類號：G632 ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ?文章編號：1008-0333（2020）10-0002-02

收稿日期：2020-01-05

作者簡介：王蘇文（1975.7-），男，浙江省諸暨人，大學，中學高級教師，從事數學教學研究.

審題是合理、正確解題的基礎，是獲取解題信息，最終達到圓滿解題的第一步.審題過程中善于捕捉，善于發現，才能更好地解決問題.平時捕風捉影也不見得是件壞事，只要捕捉對象準確，無疑是解決問題的一條良策.

一、捕捉數字

在數學解題中，數字對解題起著決定性的作用，因此掌握數字間的關聯是解決問題的金鑰匙.

例1 求值：sin7°+cos15°sin8°cos7°-sin15°sin8°.

分析 式中三個數值存在關系如下：15°=7°+8°，7°=15°-8°等，觀察所求式子的關系，可將7°用15°-8°來表示更為合理，繼而用15°=45°-30°轉化為兩個特殊角進行求值，那么所求問題就迎刃而解了.

例2 已知在平面直角坐標系中，A（-2，0），B（1，3），O為原點，設OM=αOA+βOB，且α+β=1，α，β均為實數，若N（1，0），則MN的最小值是

.

圖1分析 在平面向量基本定理中，若OP=xOA+yOB的有序實數對（x，y）滿足x+y=1，則A，P，B三點共線，在相關問題的求解中還是十分有效的，在具體問題的處理中會顯得格外清晰.

解 由OM=αOA+βOB，且α+β=1，則M在直線AB上運動，故MN的最小值即為點N到直線AB的距離.由lAB：x-y+2=0，則d=|1-0+2|12+12=322，故MN的最小值是322.

在大多數解題過程中，數字間的特征可以幫助我們更快、更好地解決問題，達到事半功倍的高效.

二、捕捉結構

在數學解題中，對于數學式的結構特征的準確把握，有時會對解決數學問題起到事半功倍的實效.

例3 已知sinα+2cosα=-5，求tanα.

分析 在三角函數中有一類特殊結構形式：對偶式，其特點是同類構造，簡便求解.

解 構造對偶式：cosα-2sinα=t.

將兩式平方相加得：5=t2+5，解得：t=0，即cosα-2sinα=0.

故tanα=sinαcosα=12.

例4 已知tanα=2，求sin3α-cosαsin3α+2cosα的值.

分析 三角函數求值中有一類特殊求值結構：齊次式，其特點為每一項次數均相同，利用切化弦求解.

解 原式=sin3α-cosα（sin2α+cos2α）sin3α+2cosα（sin2α+cos2α）.由tanα=2，則sinα=2cosα代入上式：原式=8cos3α-4cos3α-cos3α8cos3α+8cos3α+2cos3α=318=16.

在數學解題中，如若能完美把握好所求問題的數學結構特征，對于解題可謂錦上添花.

三、捕捉模型

掌握高中數學中的常見模型對于求解數學問題而言可謂無招勝有招，柳暗花明又一村.

圖2例5 如圖2，設O是正三棱錐P-ABC底面△ABC的中心，過O的動平面與P-ABC的三條側棱PA，PB，PC（或其延長線）的交點分別為Q，R，S，則1|PQ|+1|PR|+1|PS|（ ?）.

A.有最大值而無最小值

B.有最小值而無最大值

C.無最大值也無最小值

D.是一個與Q，R，S位置無關的常量

分析 作為動態題的關鍵問題是找到合理的不動因素，而本題的變化模型中不變的是Q，R，S，O四點共面，可利用空間四點共面的基本定理這一模型進行求解.

解 設|PQ|=x，|PR|=y，|PS|=z，則PA=PAxPQ，PB=PByPR，PC=PCzPS.根據條件：O為底面中心，且A，B，C，O四點共面，則PO=PA+PB+PC3.

結合上式得：PO=PA3xPQ+PB3yPR+PC3zPS.而Q，R，S，O四點共面，則PA3x+PB3y+PC3z=1.又|PA|=|PB|=|PC|且為定長，故1|PQ|+1|PR|+1|PS|=3PA為定值.

圖3例6 如圖3所示，某貨場有兩堆集裝箱，一堆4個，一堆3 個.現需要全部裝運，每次只能從其中一堆取最上面的一個集裝箱，則在裝運的過程中不同取法的種數是

.

分析 在排列組合中，有時問題的模型不能很好建立，就會一籌莫展.因此在解決排列組合問題時，利用實際問題抽象出合理的模型是解決問題的所在，而且也行之有效.

本題可采用排列組合的基本模型，即平排畫7個格子在地上，每取一個集裝箱一次放在格子上，只需在7個格子里隨意挑4個格子安放左側4個集裝箱即為所求，故共有C47種.

在解決菲常規試題時，往往需要構建一些合理的解題模型幫助問題進行轉化，最終找到問題的突破口.

四、捕捉位置

例7 如圖4，正四面體ABCD的頂點C在平面α內，且直線BC與平面α所成的角為45°，頂點B在平面α內的射影為點O.當

圖4頂點A與點O的距離最大時，直線CD與平面α所成角的正弦值等于

A. 6+3212 ? B. 22+15

C. 6+24 D. 5+2212

分析 學生對于立體幾何中的動態題往往感到害怕，尤其像這種幾何體的動態問題，使原本就害怕的學生往往望而卻步，更何況去求解.通過對幾何體的旋轉不難發現試題中滿足最值的位置.

取CA，CB，CD作為空間基底向量，根據題意，當且僅當A，B，C，O四點在同一平面時，頂點A與點O的距離最大.不妨設正四面體ABCD的棱長為2，則平面α的法向量即為BO，結合四邊形ABOC中的內角與相關長度，圖中△ABC為正三角形，△BOC是以BC為斜邊的等腰直角三角形.可計算得：BO=3-36CB-33CA，故cos〈BO，CD〉=BO·CD|BO||CD|=-6+3212.設直線CD與平面α所成角為θ，則sinθ=|cos〈BO，CD〉|=6+3212.

故選（A）.

作為立體幾何的動態題，往往考查學生觀察、分析問題的能力，因此作為動態下的各個位置是解決問題的關鍵所在，只要找到正確的位置，動態問題就迎刃而解了.

參考文獻：

＼[1＼]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[責任編輯：李 璟]