例談思維導圖在解析幾何習題教學中的應用

洪升

摘 要：《普通高中數學課程標準》提出，通過高中數學課程的學習，學生能提高學習數學的興趣，增強學好數學的自信心.市一模考試后，筆者通過分析數據發現解析幾何題得分率較低，不少學生對解析幾何題的解答沒有思路，也沒有信心.針對這一情況，筆者通過一節試卷講評課，利用思維導圖的形式，幫助學生提高分析問題和解決問題的能力，鼓勵學生積極探討，提高自信心。

關鍵詞：思維導圖、解析幾何、習題教學

試卷講評課是高三教學過程中常見且重要的課型，如何上好試卷講評課是值得每一位教師尤其是高三教師深入思考的問題.高三年級的每一次考試，都在檢查學生對知識的掌握情況，從而進行查缺補漏，而高三學年的時間尤其寶貴，作為教師，如何幫助學生在考試后查找問題，分析得失，并且有針對性地給出復習策略，是非常重要的一環.前段時間，學生參加了市里的第一次模擬考試，成績揭曉，我便仔細分析班級學生的各題得分情況，以及各題與市均分的差額（我校是一所三星高中），其中解答題各題均分如下表.

從上表不能看出，除了第18題外，其余五個解答題得分與市均分相差甚小，其中第16題還高出兩分.但是18題解析幾何題的均分低了3分多，可以說明我班學生在解析幾何題上的解答上存在較大問題，我也和一些學生交流過，學生對于解析幾何題有較大的懼怕心理，怕計算量大很難算，還有怕沒思路.至于計算方面問題，我們必須不怕困難，反復練習才能有所提高;而對于尋找解題思路的問題，關鍵在于學生的思維.除了平時多想問題多思考外，還要對相關題型有針對性的訓練.于是我便針對此題上了一節試卷講評課，現將課堂實錄整理出來形成此文，不當之處，敬請指正.

一、試題重現

二、課堂實錄

從學生的解答情況看，第（1）問學生解決情況很好，該問也屬于送分題，3分.當然也有個別學生因為公式記錯導致得零分，要引起重視.

由于課前已經讓學生自我訂正，從訂正的情況來看，絕大多數人都能做對第（2）問的第①小問.我想請同學們說說考場上是怎么想的.

生1：因為要求k1k2的值，那就需要P、Q兩點的坐標，又想到設而不求的方法，并注意到P、Q兩點是關于原點對稱的，所以設點P（x0，y0），則Q（-x0，-y0），再利用斜率公式表示出k1k2，并借助P（x0，y0）點坐標滿足橢圓方程，就可以求出答案.

師：很好.你的方法可以表示為：

設P（x0，y0）得Q（-x0，-y0）表示出k1k2求出答案.

生2：老師，我沒想到設而不求，所以我用直線l的方程y=kx與橢圓方程聯立，求出P、Q兩點的坐標，然后求k1k2的值，但是計算過程比較麻煩.

師：雖然計算過程有些麻煩，但是聯立方程組求交點也是很重要的一種方法.可以表示為：

聯立直線與橢圓方程→求出P、Q兩點的坐標（用k表示）表示出k1k2→求出答案.

同學們注意比較一下以上兩種方法，可以看出設而不求在解決解析幾何問題時，可以起到簡化運算的效果.

生3：考試時間緊張，做完第（1）問后，沒怎么想就覺得會很難做出來，就做其它題目了.

師：有的學生對做解析幾何題沒有信心，主要是因為平時缺少思考，也很少針對性去練習，計算能力不過關，對常用的方法總結不夠等方面的原因.我們必須在后面學習中要多加練習.

對于第（2）問的第②小問，由于計算比較繁瑣，考試時僅個別同學算出答案.但是同學們在經過自己訂正后，能算出答案的明顯增多.有同學能上講臺來說一下這一問的解題思路嗎？

生4：聯立直線PQ與橢圓方程→求出P、Q兩點的坐標（用設而不求以及一元二次方程根與系數的關系處理）表示出k1k2→求出答案.（展示解答過程如下）

師：非常好！但是在利用結論時必須先給出證明.其實這個題目的很多方法，本質其實是選擇適當的變量，表示出k1和k2，然后進行減元，最終消元求出答案.通過上面思維導圖的形式，我們比較簡單地理清解題思路，從而在解題時按照步驟逐一進行下去，但是值得注意的是，要想做出答案，僅有思路是不夠的，解析幾何題還重點考查同學們的計算能力，尤其是含有字母的計算能力，這種能力不是做一兩個題目就可以提高的，必須要求同學們平時多多練習、反復訓練、持之以恒、總結歸納，才會有所效果.所以請同學們課后針對上題按照上面的思維導圖通過自己的計算，得出答案.

三、教學反思

解析幾何作為高中數學教學的重要內容，在高考中占有較大的比重，但從模考的數據分析可以看出，學生在解析幾何題上失分較多.究其原因，筆者認為，一方面學生不容易找到解題思路，更難找到最佳解法;另一方面，學生害怕計算，尤其是帶有字母的計算，這方面能力較差;再則考試時間有限，因此要想拿到高分必定難上加難.為了提高得分率，首先應該建立學生做解析幾何題的信心，為此課堂練習時找的題目相對容易些，并在上課是給足夠的時間讓學生獨立思考，然后再討論，并注意鼓勵學生積極參與.

筆者近日在閱讀徐榮豹教授編著的《數學教學設計原理的構建——教學生學會思考》一書，感觸頗深.作為一線教師，教學生學生思考至關重要.學生會思考了，解題思路也就慢慢會有了.譬如說解析幾何題，看到題目首先應該要分析題意，分析這個幾何圖形中有哪些定點，哪些動點？圖形是怎么構成的？有哪些特征？如何選擇合適的變量進行計算等等.這對我們解題思路的獲得很有幫助，當然計算能力也是非常重要的，由于課堂時間較短，本節課讓學生計算的時間不夠，這確實是遺憾的，甚至是不對的，應該給更多的時間讓學生在課堂上演算，從而發現學生計算中的問題，并及時指導糾正，這樣效果應該會更好！