構造法在高中數學解題中的應用研究

張浩群

摘?要：在高中數學解題教學中，教師不僅要強調知識的講解，更要注重對學生思維能力的培養，而構造法在高中數學解題中有著廣泛的應用，對于啟發學生創新思維，強化學生邏輯思考具有重要意義.本文從構造法的含義出發，結合類型題分析構造法的應用，并反思其應用過程，以期對提高高中數學解題教學指導效果提供參考.

關鍵詞：構造法;高中數學;習題類型;實踐應用

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2020）22-0075-02

構造法就是根據題設條件或結論所具有的特征、性質，構造出滿足條件或結論的數學模型，借助于該數學模型解決數學問題的方法.在高中數學解題指導中，構造法的應用能夠激發學生主動調用函數、方程、幾何圖形、數列等知識，促使學生實現創新思考與邏輯探究，提升學生的解題能力.

一、構造法在高中數學解題中的應用類型

1.構造函數

在解題中，學生可以根據問題條件構造新的函數關系，將復雜的問題轉化為熟悉的函數關系式，并利用函數性質進行解答.

例1?在實數范圍內解方程：（x2-x+1）5-x5+4x2-8x+4=0.

分析?該方程為高次的，直接展開超出所學范圍，且過于復雜，因此并不可行，而利用函數，將高次方程轉化為相應的函數，并結合函數的奇偶性進行分析則不失為一種簡單易行的方法.

解析?（x2-2x+1）5+4x2-8x+4=（x2-2x+1）5+4（x2-2x+1）=0，則令

t=（x2-2x+1），則將原方程構造函數

f（t）=t5+4t，通過對f（t）的分析可知f（t）在區間實數范圍

與y軸僅有一個焦點，此時t=0，由此可推出x2-2x+1=0，x=1.

拓展：解不等式：x（1+x2+2）+（x+1）（1+（x+1）2+2）>0.

解析?與上一例題類似，學生可以通過觀察，設f（x）=x（1+x2+2），x∈R，易證明f（x）在區間0，+SymboleB@

為單調遞增函數，且f（-x）=-f（x），f（x）為奇函數，原不等式可以轉化為f（x）+f（x+1）>0，最終結果為

x>-12.

2.構造方程

方程與數量關系、函數等知識之間存在密切聯系.在解題中根據條件構造出一個新的方程往往能夠打開解題思路，獲得更加便捷的解決方法.

例2?求函數y=2x+1x2+x+1的值域.

解析：將函數兩邊同時乘以x2+x+1，能夠得到關于x的方程，即y（x2+x+1）=2x+1在R范圍內有解;通過y的討論，確定函數值域，即當y=0時，x=-12，符合條件;當y≠0時，確定Δ≥0，即3y2≤4，最后求得函數值域為-233，233.

由上述題目可以看出方程在問題轉化中有著更加靈活的應用，而教師應結合問題啟發學生思考解題過程，即明確方程轉化的條件，如何結合題目特點設計方程，討論方程相關性質，即判別式與韋達定理，最后將方程結論轉化為題目結論，完成對問題的有效解答.3.構造幾何圖形

數形結合是數學學科的重要思想方法，在解題中，教師應指導學生將構造法與數形結合相融合，根據數量關系對圖形進行與構造，利用直觀圖形實現對抽象問題的分析，以降低解題難度，提高階梯效果.

例3?關于θ的方程3cosθ+sinθ+a=0，在區間0，2π內有相異的兩個實根α和β，求實數a的取值范圍.

解析?在解題中，教師可以指導學生拓展思維，思考方程問題與平面幾何問題的關系，并通過構造幾何圖形實現對問題的解答.設x=cosθ，y=sinθ，則由題設知，3x+y+a=0，另方程轉化為一次函數，即y=-3x-a與圓x2+y2=1有兩個不同的交點A和B，原點O到直線的距離小于1，可以得出d=0+0+a（3）2+12<1，解得-2<a<2.由于方程在區間0，2π內有相異的兩個實根α和β，可知y=-3x-a不過點（1，0），即a≠-3，實數a的取值范圍為a∈（-2，-3）∪（-3，2）.

4.構造數列

數列模型具有一定的規律性，其在解題中能夠更加清晰地呈現問題特點.在教學指導中，教師可以結合相應問題，指導學生構造等差數列或等比數列，利用數列性質進行解題.

例4?求證：1n+1+1n+2+…+13n+1>1，其中n為正整數.

解析：題目中“n為正整數”這一條件十分重要，根據不等式的結構可以來能想到數列，并進行構造：令an=1n+1+1n+2+…+13n+1，則an+1-an=13n+4+13n+3+13n+2-1n+1=13n+4+13n+2-23n+3=2（3n+2）（3n+3）（3n+4）>0.由此可以發現數列an為遞增數列.根據a1>1最終可以證明不等式.在這一問題中，直接證明十分復雜，需要根據不等式的特點，與相關知識建立聯系，并利用數列模型進行分析轉化，完成證明.

二、構造法在高中數學解題應用中需注意的問題

構造法在高中數學解題中的應用十分廣泛，但是通過對學生解題過程與解題效果的觀察，可以發現許多學生對于構造法的掌握存在問題，無法細致觀察題目，在構造模型的過程中也常常一頭霧水.針對此，教師在教學指導中，應注重方法，幫助學生掌握構造法的本質含義，并實現靈活自主運用.

在解題指導中，教師首先應注重對學生觀察能力的培養.構造法屬于創新思維方法，需要學生在細致觀察中靈活調用所學知識.教師在教學指導中，應鼓勵學生主動觀察，為學生創設發現問題的情境，并結合問題滲透數學定理、解決數學難題的事例，融入一些富有趣味性的練習，讓學生通過自己的觀察、分析，發現題目之間的聯系，并激發其主動構造的興趣，提高觀察能力.其次，教師應注重對學生思維發展過程的培養.構造法的運用是思維不斷深化發展的過程，教師在教學設計中應精心編創問題，促使學生多角度地思考，經歷假設分析、舉例驗證、反問推理等一些列抽象思考過程，讓思路從思維定勢的框架中跳出來，用一種全新的思維方式解答問題;此外，教師還應結合例題啟發學生思考，鼓勵學生表達，并在手腦口并用中加深印象，深化學生對數學知識的思考與應用，同時提升學生的思維品質.再次，教師應注重對學生舉一反三能力的培養.舉一反三是學生思維拓展的必要途徑，在構造法的應用中教師可以對問題進行變式，利用相似的題目啟發學生拓展思考，以提高知識靈活運用能力.例如在上述“構造函數”一節中，教師從方程拓展到不等式，不同的題目采取相同的思路，即構造函數，以啟發學生對構造法應用的進一步思考，激發其結合其它問題嘗試運用構造法的動力.最后，教師應注重對學生總結反思能力的培養.根據上述類型題舉例可以看出構造法的應用范圍之廣，教師在教學指導中，應啟發學生對多接觸的典型習題進行總結，如構造函數、構造方程、構造幾何圖形、構造數列等，歸納解題步驟，探究構造法的應用思路，逐漸內化解題方法，將解題積累逐漸轉化為數學思想方法，從而提升數學學習能力.

總之，在高中數學解題指導中，構造法是一種常見，且具有創新意義的解題思路.在教學指導中，教師應引導學生深入理解構造法的含義，理解構造的目的，并結合不同類題習題分析構造法的應用策略，促使學生在觀察與思考中實現創新解答，提高解題能力.

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