導數一題多解 發散學生思維

洪梅

摘?要：導數是高中數學的重要知識點，相關題型復雜多變.高考中這類題型常以壓軸題的形式出現，難度較大.教學中，為提高學生解答導數習題的能力，應注重精講精練，尤其引導學生開展一題多解活動，積極發散學生思維，使學生根據自身實際掌握任意一種解題思路，遇到類似習題能夠迅速解答.

關鍵詞：高中數學;導數;一題多解;思維

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2020）22-0073-02

在導數教學中開展一題多解活動，不僅有助于學生更加全面地認識導數知識本質，而且可以拓展學生思維，使其積累相關的解題經驗，不斷提高其解題水平與解題能力.

一、一題多解在圖象交點問題中的應用

圖象交點是高中數學的重要問題之一.解答該類問題常轉化為函數的零點或方程在給定定義域上根的個數問題.顯然對于較為復雜的函數或方程問題，需要運用導數知識求解函數的單調性，以此來判斷零點、根個數的

情況.

例1?已知函數f（x）=（2-x）ex，g（x）=a（x-1）2.（1）求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程;（2）討論y=f（x）和y=g（x）的圖象的交點個數.

該題目第一問較為簡單，在這里不再贅述，接下來主要討論第二問的兩種解法.

方法一：含參討論法

令F（x）=g（x）-f（x），則F′（x）=（x-1）（ex+2a），因a的取值未知，接下來需要進行分類討論：

①當a=0，則F（x）=（x-2）ex，F（x）只有一個零點;

②當a<0，由F′（x）=0得x=1或x=ln（-2a）.

若a≥-e2，則ln（-2a）≤1，故當x∈（1，+∞）時，F′（x）>0，因此，F（x）在（1，+∞）上單調遞增.當x→+∞時，F（x）>0，又當x≤1時，F（x）<0，所以F（x）只有一個零點.

若a<-e2，則ln（-2a）>1，故當x∈（1，ln（-2a））時，F′（x）<0;當x∈（ln（-2a），+∞）時，F′（x）>0.因此，F（x）在（1，ln（-2a））上單調遞減，在（ln（-2a），+∞）上單調遞增.當x→+∞時，F（x）>0，又當x≤1時，F（x）<0，所以F（x）只有一個零點.

③當a>0，則當x∈（-∞，1）時，F′（x）<0;當x∈（1，+∞）時，F′（x）>0.因此，F（x）在（-∞，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增.又因為F（1）=-e，F（2）=a，取b滿足b<0且ba2（b-2）+a（b-1）2=a（b2-32b）>0，則F（x）存在兩個零點.

綜上：當a≤0時，F（x）只有一個零點;當a>0時，F（x）有兩個零點.

方法二：分離參數法

①當x=1時f（1）=e，g（1）=0，無解.

②當x≠1，分離參數得到a=（2-x）ex（x-1）2，令h（x）=（2-x）ex（x-1）2，對h（x）求導，整理得到：h′（x）=-ex（x-1）[（x-2）2+1]（x-1）4，其中（x-2）2+1>0，對單調性沒影響.當x∈（-∞，1）時，h′（x）>0，h（x）單調遞增.當x→1時，h（x）→+∞，當x→-∞，h（x）→0.當x∈（1，+∞）時，h′（x）<0，h（x）單調遞減.當x→1時，h（x）→+∞，當x→+∞時，h（x）→-∞.

因此，當a>0時，y=a和h（x）的圖象有兩個交點.當a≤0時，y=a和h（x）的圖象有一個交點.

二、一題多解在恒成立問題中的應用

恒成立是高中數學的熱門題型，是高考的熱門考點.解答該類題型的方法多種多樣，需要具體問題具體分析.其中常用的解題思路為切線斜率法、分離參數法、含參討論法等.

例2?已知e1/x-lnx>e+a1-xx，對任意的x∈（0，1）恒成立，則實數a的取值范圍為（）.

A.（0，e+1）B.（0，e+1]

C.（-∞，e+1）D.（-∞，e+1]

解答該題可先進行換元、變形，即，由已知可知e1/x+ln1x>e+a（1x-1），令t=1x，則et+lnt>e+a（t-1）（t>1）.

1.切線斜率法

令g（t）=et+lnt，y=at-a+e，則g′（t）=et+1t，在定義域（1，+∞）上g′（t）>0，g（t）單調遞增，g′（1）=e+1，要想滿足題意只需a≤e+1，正確選項為D.

2.分離參數法

由上可知a（t-1）1），即，a0，1-1t>0，因此，

g′（t）>0，g（t）在t>1上單調遞增，則g（t）min=g（1）.由洛比達法則法則可知g（1）=e+1，即，a≤e+1，正確選項為D.

3.含參討論法

令g（t）=et+lnt-a（t-1）-e（t>1），當t=1為其臨界條件，g（1）=0，對其求導g′（t）=et+1t-a，對導數進行求導g″（t）=et-1t2>0，表明在t>1上，g′（t）單調遞增，當g′（1）=e+1-a≥0，即，a≤e+1時，則g（t）在（1，+∞）上單調遞增，∴g（t）>g（1）=0滿足.當g′（1）=e+1-a<0，即，a>e+1時，則存在t∈（1，+∞）使得g′（t0）=0，∴g（t）在（1，t0）上單調遞減，在（t0，+∞）上單調遞增，∴g（t0）

導數在高中數學中占有重要地位.教學中為提高學生解答導數問題的能力，應注重經典題型的篩選，積極組織學生開展一題多解活動，發散學生思維，深化學生對導數知識理解的同時，掌握更多的解題方法，不斷提高其解題能力，促進其數學學習成績更好的提升.

參考文獻：

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