導(dǎo)數(shù)一題多解 發(fā)散學(xué)生思維

洪梅

摘?要：導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，相關(guān)題型復(fù)雜多變.高考中這類題型常以壓軸題的形式出現(xiàn)，難度較大.教學(xué)中，為提高學(xué)生解答導(dǎo)數(shù)習(xí)題的能力，應(yīng)注重精講精練，尤其引導(dǎo)學(xué)生開展一題多解活動(dòng)，積極發(fā)散學(xué)生思維，使學(xué)生根據(jù)自身實(shí)際掌握任意一種解題思路，遇到類似習(xí)題能夠迅速解答.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);導(dǎo)數(shù);一題多解;思維

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2020）22-0073-02

在導(dǎo)數(shù)教學(xué)中開展一題多解活動(dòng)，不僅有助于學(xué)生更加全面地認(rèn)識(shí)導(dǎo)數(shù)知識(shí)本質(zhì)，而且可以拓展學(xué)生思維，使其積累相關(guān)的解題經(jīng)驗(yàn)，不斷提高其解題水平與解題能力.

一、一題多解在圖象交點(diǎn)問題中的應(yīng)用

圖象交點(diǎn)是高中數(shù)學(xué)的重要問題之一.解答該類問題常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)或方程在給定定義域上根的個(gè)數(shù)問題.顯然對(duì)于較為復(fù)雜的函數(shù)或方程問題，需要運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解函數(shù)的單調(diào)性，以此來判斷零點(diǎn)、根個(gè)數(shù)的

情況.

例1?已知函數(shù)f（x）=（2-x）ex，g（x）=a（x-1）2.（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程;（2）討論y=f（x）和y=g（x）的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

該題目第一問較為簡(jiǎn)單，在這里不再贅述，接下來主要討論第二問的兩種解法.

方法一：含參討論法

令F（x）=g（x）-f（x），則F′（x）=（x-1）（ex+2a），因a的取值未知，接下來需要進(jìn)行分類討論：

①當(dāng)a=0，則F（x）=（x-2）ex，F(xiàn)（x）只有一個(gè)零點(diǎn);

②當(dāng)a<0，由F′（x）=0得x=1或x=ln（-2a）.

若a≥-e2，則ln（-2a）≤1，故當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）>0，因此，F(xiàn)（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增.當(dāng)x→+∞時(shí)，F(xiàn)（x）>0，又當(dāng)x≤1時(shí)，F(xiàn)（x）<0，所以F（x）只有一個(gè)零點(diǎn).

若a<-e2，則ln（-2a）>1，故當(dāng)x∈（1，ln（-2a））時(shí)，F(xiàn)′（x）<0;當(dāng)x∈（ln（-2a），+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）>0.因此，F(xiàn)（x）在（1，ln（-2a））上單調(diào)遞減，在（ln（-2a），+∞）上單調(diào)遞增.當(dāng)x→+∞時(shí)，F(xiàn)（x）>0，又當(dāng)x≤1時(shí)，F(xiàn)（x）<0，所以F（x）只有一個(gè)零點(diǎn).

③當(dāng)a>0，則當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，F(xiàn)′（x）<0;當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）>0.因此，F(xiàn)（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增.又因?yàn)镕（1）=-e，F(xiàn)（2）=a，取b滿足b<0且ba2（b-2）+a（b-1）2=a（b2-32b）>0，則F（x）存在兩個(gè)零點(diǎn).

綜上：當(dāng)a≤0時(shí)，F(xiàn)（x）只有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)a>0時(shí)，F(xiàn)（x）有兩個(gè)零點(diǎn).

方法二：分離參數(shù)法

①當(dāng)x=1時(shí)f（1）=e，g（1）=0，無解.

②當(dāng)x≠1，分離參數(shù)得到a=（2-x）ex（x-1）2，令h（x）=（2-x）ex（x-1）2，對(duì)h（x）求導(dǎo)，整理得到：h′（x）=-ex（x-1）[（x-2）2+1]（x-1）4，其中（x-2）2+1>0，對(duì)單調(diào)性沒影響.當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，h′（x）>0，h（x）單調(diào)遞增.當(dāng)x→1時(shí)，h（x）→+∞，當(dāng)x→-∞，h（x）→0.當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）<0，h（x）單調(diào)遞減.當(dāng)x→1時(shí)，h（x）→+∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，h（x）→-∞.

因此，當(dāng)a>0時(shí)，y=a和h（x）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).當(dāng)a≤0時(shí)，y=a和h（x）的圖象有一個(gè)交點(diǎn).

二、一題多解在恒成立問題中的應(yīng)用

恒成立是高中數(shù)學(xué)的熱門題型，是高考的熱門考點(diǎn).解答該類題型的方法多種多樣，需要具體問題具體分析.其中常用的解題思路為切線斜率法、分離參數(shù)法、含參討論法等.

例2?已知e1/x-lnx>e+a1-xx，對(duì)任意的x∈（0，1）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）.

A.（0，e+1）B.（0，e+1]

C.（-∞，e+1）D.（-∞，e+1]

解答該題可先進(jìn)行換元、變形，即，由已知可知e1/x+ln1x>e+a（1x-1），令t=1x，則et+lnt>e+a（t-1）（t>1）.

1.切線斜率法

令g（t）=et+lnt，y=at-a+e，則g′（t）=et+1t，在定義域（1，+∞）上g′（t）>0，g（t）單調(diào)遞增，g′（1）=e+1，要想滿足題意只需a≤e+1，正確選項(xiàng)為D.

2.分離參數(shù)法

由上可知a（t-1）1），即，a0，1-1t>0，因此，

g′（t）>0，g（t）在t>1上單調(diào)遞增，則g（t）min=g（1）.由洛比達(dá)法則法則可知g（1）=e+1，即，a≤e+1，正確選項(xiàng)為D.

3.含參討論法

令g（t）=et+lnt-a（t-1）-e（t>1），當(dāng)t=1為其臨界條件，g（1）=0，對(duì)其求導(dǎo)g′（t）=et+1t-a，對(duì)導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)g″（t）=et-1t2>0，表明在t>1上，g′（t）單調(diào)遞增，當(dāng)g′（1）=e+1-a≥0，即，a≤e+1時(shí)，則g（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴g（t）>g（1）=0滿足.當(dāng)g′（1）=e+1-a<0，即，a>e+1時(shí)，則存在t∈（1，+∞）使得g′（t0）=0，∴g（t）在（1，t0）上單調(diào)遞減，在（t0，+∞）上單調(diào)遞增，∴g（t0）

導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中占有重要地位.教學(xué)中為提高學(xué)生解答導(dǎo)數(shù)問題的能力，應(yīng)注重經(jīng)典題型的篩選，積極組織學(xué)生開展一題多解活動(dòng)，發(fā)散學(xué)生思維，深化學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)知識(shí)理解的同時(shí)，掌握更多的解題方法，不斷提高其解題能力，促進(jìn)其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)更好的提升.

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[責(zé)任編輯：李?璟]