一道模考?jí)狠S題引發(fā)的探究

摘?要：一些正規(guī)考試的壓軸題是重要的教學(xué)素材，一題多變是用活用好這些素材的主要途徑.一題多變可以幫助學(xué)生復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)，鞏固基本技能，形成應(yīng)對(duì)創(chuàng)新試題的核心能力.

關(guān)鍵詞：壓軸題;一題多變;探究

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2020）22-0013-02

一、題目呈現(xiàn)

（烏魯木齊地區(qū)2020年高三第二質(zhì)量監(jiān)測(cè)理科數(shù)學(xué)第16題） 在△ABC中，已知AB=6，∠A=60°，BC邊上的中線AD=19，則sinB=.

二、分析解答

分析?本題從表象看考查解斜三角形，一般綜合需要應(yīng)用正弦定理、余弦定理、面積公式、三角公式等知識(shí)作答.但是從考試統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)此題得分率很低，僅0.12，是什么原因造成的呢？深入研究才發(fā)現(xiàn)，解答本題不能走套路，它必須以平面向量為背景的中線性質(zhì)為突破口，否則解答難以推進(jìn).沒有角B的對(duì)邊AC的數(shù)據(jù)，正、余弦定理無法派上用場(chǎng).

解答?因?yàn)锳D是BC邊上的中線，

所以AD=12（AB+AC），

平方得AD2=14（AB2+2AB·AC·cosA+AC2），

即19=14（36+6AC+AC2），

解得AC=4.

由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA，

即BC2=36+16-2×6×4×12，

解得BC=27.

在△ABC中，由正弦定理得BCsinA=ACsinB，

即27sin60°=4sinB，

解得sinB=217.

評(píng)注?本題在曾經(jīng)的解斜三角形的高考題、模考題基礎(chǔ)上進(jìn)行了創(chuàng)新，巧妙地將平面向量融入題中，體現(xiàn)了平面向量的工具性.本題將正、余弦定理進(jìn)行了靈活考查，具有很好的復(fù)習(xí)教學(xué)價(jià)值，深入探究可以鞏固解斜三角形的方方面面知識(shí)，總結(jié)提升解題方法，形成解題技能，達(dá)到觸類旁通的效果，避免題海戰(zhàn)術(shù)給復(fù)習(xí)帶來的繁重負(fù)擔(dān).

三、變式探究

解斜三角形作為每年高考必考的內(nèi)容，非常重要，往往依托于三角形及其內(nèi)部的一些邊角關(guān)系，就三角函數(shù)、正弦定理、余弦定理、射影定理、面積、周長(zhǎng)、相關(guān)圓的半徑等進(jìn)行考查，往往有一定的區(qū)分度，變式研究非常必要.

變式1在△ABC中，已知AB=6，∠A=60°，BC邊上的中線AD=19，則sinC=.

參考答案：sinC=32114.

評(píng)注?本題與原題而言，本質(zhì)是一樣的，但是中線的向量性質(zhì)應(yīng)用更具有隱蔽性.學(xué)生思維受阻的可能性增加，必須等價(jià)轉(zhuǎn)化為原題.

變式2?在△ABC中，已知AB=6，∠A=60°，BC邊上的中線AD=19，則△ABC的面積為.

參考答案：S△ABC=243.

評(píng)注?求面積有較強(qiáng)的提示性，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為求邊BC.培養(yǎng)學(xué)生解題的目標(biāo)意識(shí)，以及公式的合理選擇.

變式3?在△ABC中，已知AB=6，∠A=60°，BC邊上的中線AD=19，則△ABC的內(nèi)切圓半徑r=.

參考答案：r=203-4213.

評(píng)注?求三角形內(nèi)切圓半徑須用到等積法，自然要尋找三邊之長(zhǎng)，同樣能實(shí)現(xiàn)考查意圖，主干知識(shí)得到檢測(cè).

變式4?在△ABC中，已知AB=6，∠A=60°，BC邊上的中線AD=19，則△ABC的外接圓半徑R=.

參考答案：R=2213.

評(píng)注?求三角形外接圓半徑與原題的難度相當(dāng)，僅需再向前一步，應(yīng)用正弦定理中的比值常數(shù)作答.

變式5?在△ABC中，已知AB=6，∠A=60°，∠A平分線AD=3，則sinC=.

解?在△ABD中，

BD=AB2+AD2-2AB·AD·cos30°，

即BD=36+3-18=21.

在△ABD中，由正弦定理得BDsin30°=ADsinB，

即21sin30°=3sinB，

解得sinB=714.

進(jìn)而cosB=1-sin2B=18914.

所以sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=7+9728.

（為節(jié)省篇幅，以下變式不再作答）

變式6?在△ABC中，已知AB=6，∠A=60°，∠A平分線AD=3，則AC=.

變式7?在△ABC中，已知AB=6，∠A=60°，∠A平分線AD=3，則△ABC的內(nèi)切圓半徑為.

變式8?在△ABC中，已知AB=6，∠A=60°，∠A平分線AD=3，則△ABC的外接圓半徑為.

變式9?在△ABC中，已知AB=6，∠A=60°，高AD=19，則AC=.

變式10?在△ABC中，已知AB=6，∠A=60°，高AD=19，則△ABC的內(nèi)切圓半徑為.

變式11?在△ABC中，已知AB=6，∠A=60°，高AD=19，則△ABC的外接圓半徑為.

評(píng)注?以上八種變式，借助三角形的角平分線或高線，復(fù)習(xí)了三角函數(shù)的定義式、正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、和差角公式、誘導(dǎo)公式、面積公式.考查的知識(shí)點(diǎn)沒有變，但是問題顯得新穎，能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，提高實(shí)戰(zhàn)中的應(yīng)變能力.

四、教學(xué)反思

1.梳理三角形中的一些重要向量關(guān)系

本題深刻反映了平面向量的工具性.平面向量能將代數(shù)和幾何聯(lián)系起來，通過向量運(yùn)算還能反應(yīng)幾何位置關(guān)系，如：平行、垂直、中點(diǎn)等.關(guān)鍵問題是學(xué)生不明白三角形中平面向量關(guān)系式的幾何含義，反之也不完全清楚如何用平面向量表達(dá)三角形中一些特殊位置關(guān)系.正如此題，學(xué)生不知道如何應(yīng)用條件“中線AD”.鑒于此，我們有必要梳理一下三角形中的重要的知識(shí).

O是三角形△ABC的重心OA+OB+OC=0;

O是三角形△ABC的垂心OA·OB=OB·OC=OC·OA;

O是三角形△ABC的內(nèi)心aOA+bOB+cOC=0;

O是三角形△ABC的外心OA=OB=OC;

在△ABC中，AM是BC邊上的中線，則AM=12（AB+AC）;

在△ABC中，AI是∠A的角平分線，則AI=ACAB+ACAB+ABAB+ACAC）;

在△ABC中，AH是BC邊上的高線，則AH=AC2-AB·ACAB2+AC2-2AB·ACAB

+AB2-AB·ACAB2+AC2-2AB·ACAC.

2.深刻認(rèn)識(shí)一題多變

一題多變重點(diǎn)在于對(duì)某個(gè)問題進(jìn)行多層次、多角度、多方位的探索.一題多變對(duì)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維有極大地幫助，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的重要手段.當(dāng)然，恰當(dāng)與否的一題多變，在教學(xué)中當(dāng)然起著不同的作用.

設(shè)計(jì)一題多變首先應(yīng)該體現(xiàn)數(shù)學(xué)的遞進(jìn)性.對(duì)教材的題目進(jìn)行了大膽的組合和拓廣，由易到難，由數(shù)字到字母，由具體到抽象，這恰恰是學(xué)生應(yīng)掌握的重點(diǎn)和難點(diǎn).一題多變不僅鍛煉了學(xué)生用類比的方法去思考和學(xué)習(xí)，而且促進(jìn)學(xué)生對(duì)解決問題的思路理解得更為透徹.每一變都應(yīng)體現(xiàn)層層遞進(jìn)，步步深入，環(huán)環(huán)相扣的密切聯(lián)系.

數(shù)學(xué)中的一題多變?cè)O(shè)計(jì)還應(yīng)體現(xiàn)知識(shí)的一定規(guī)律和一定的關(guān)聯(lián)，便于學(xué)生解題時(shí)思維的連貫.用題目的相近性、相關(guān)性培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，了解數(shù)學(xué)從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從一般到特殊的探索規(guī)律.再用不同的思路去分析，不僅使得學(xué)生對(duì)思考的問題由淺入深，而且極大的鍛煉學(xué)生類推能力和梳理思路歸納的能力.設(shè)計(jì)時(shí)還應(yīng)該注意盡可能不多給信息，不要讓學(xué)生感覺到題目在堆砌拼湊.多用簡(jiǎn)單明了的符號(hào)或者圖形，讓學(xué)生可以從不同的角度去審題，找到自己認(rèn)為有用的信息來解決問題.設(shè)計(jì)時(shí)還有很重要的一點(diǎn)，就是應(yīng)該能夠體現(xiàn)命題的前瞻性.

落實(shí)“一題多變”，可以對(duì)題目的“條件”“結(jié)論”“條件與結(jié)論”之間的關(guān)系進(jìn)行聯(lián)想、類比、推廣，進(jìn)而得到一系列新的題目，甚至得到一般性的結(jié)論.在這個(gè)過程中，學(xué)生會(huì)逐步把握題目的本質(zhì).這樣可以起到“做好一題，帶活一片”的效果.

參考文獻(xiàn)：

[1]黃麗生.核心素養(yǎng)背景下一到高考?jí)狠S題的多角度探析[J].數(shù)學(xué)通訊，2018（12）：51-56.

[2]李昌成，朱勇.由2019年高考全國(guó)Ⅰ卷理科第12題引發(fā)的探究[J].理科考試研究，2020（2）：4-7.

[責(zé)任編輯：李?璟]