向量是表達幾何性質的語言

沈海全

摘?要：從教材習題入手不斷進行變式拓展，挖掘向量語言中所蘊含的幾何性質，揭示問題本質.

關鍵詞：平面向量;變式拓展;數學美

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2020）22-0011-02

平面向量是高中數學中重要和基本的概念之一， 也是浙江高考的亮點和難點內容. 它是溝通代數、幾何與三角函數的一種工具，有著極其豐富的實際背景，常用平面向量解決一些比較復雜的幾何問題，即幾何問題代數化.而在高考中某些向量問題常具有豐富的幾何背景和幾何性質，反而需要把向量問題轉化為幾何問題，借助幾何方法來更好地解決，那就需要我們用敏銳的眼光識別向量語言中所蘊含的幾何性質，這也是解決此類問題的難點.本文從課本習題出發通過一系列的拓展變式將一些具有明顯幾何意義的向量問題進行歸納總結，揭示問題的本質，供老師同學參考學習.

一、在教材中尋根人教版必修四課本P120 第2，3題.

1.已知向量a，b為非零向量，且a+b=a-b，求證：a⊥b，并解釋幾何意義.

解?如圖1，設OA=a，OB=b，則由向量運算法則可得平行四邊形的對角線OC=a+b，BA=a-b，又a+b=a-b，由平面幾何知識知對角線相等的平行四邊形為矩形，即a⊥b.

2.已知向量a，b為非零向量， 且a+b⊥a-b，求證：a=b，并解釋幾何意義.

解?如圖2，設OA=a，OB=b，則由向量運算法則可得OC=a+b，BA=a-b，由平面幾何知識知對角線互相垂直的平行四邊形為菱形，即a=b.

下面再看兩個小問題.

3.已知向量a，b滿足a=2，b·a-b=0，你能解釋其中蘊含的幾何意義嗎？

解?如圖3，設OA=a， OB=b，則BA=a-b.因b⊥（a-b）， 即點B在以線段OA為直徑的圓周上. 即直徑所對的圓周角為90°.

4.已知向量a，b滿足a=2，b=a-b，你能解釋其中蘊含的幾何意義嗎？

解?如圖4，設OA=a，OB=b，則BA=a-b，因b=a-b，即點B在線段OA的中垂線上，即線段中垂線上的點到線段兩端點的距離相等.

四個簡單的向量表達式，蘊含了我們最熟悉的平行四邊形、菱形、線段、圓所具有的最美的性質.為變式拓展提供了材料和動力，結合以上性質再加入新的元素λa-b設計了這么一個問題. 已知向量a，b滿足a=2，b·a-b=0，b=a-b，λ∈R，求λa-b的最小值.

解?由以上幾個問題可知，b的終點B既在以線段OA為直徑的圓周上，又在線段OA的中垂線上，所以b唯一固定，而λa-b所表示的幾何意義為向量λa終點D和向量b終點B連線距離，即為直線OA上的動點D與定點B連線距離，所以表達的幾何意義為直線外一點與直線上一動點的最小距離，即BDmin=BC=1.

二、在根基中求變

問題1?已知向量a，b滿足a=2，a與a-b的夾角為60°，求b的最小值.

解?設OA=a，OB=b，則BA=a-b，又a與a-b的夾角為60°，即∠OAB=60°，所以b終點可在射線AB上運動，所以當OB⊥AB時，bmin=3.

以上問題源于2010年浙江高考試題，體現了直線外一點到直線上動點連線的最短距離為垂線段長度.下面將條件a與a-b的夾角為60°改為b與a-b的夾角為120°，驚喜的發現b終點的軌跡由射線變為了圓弧，而初中已經知道圓最優美的幾何性質是同弧所對的圓周角相等.這么優美的幾何性質以向量語言表現出來了.而解決這個問題又可以用正弦定理來解決，從而又用到了三角形最美的性質即正弦定理.下面給出問題和解答.

問題2?已知向量a，b，c滿足a=b=2，a⊥b， c=λa+1-λb，λ∈R，求c的最小值.

解?;如圖7，設OA=a，OB=b，由c=λa+1-λb可得，當向量a，b，c共起點后，終點共線，即C在AB直線上.所以當OC⊥AB時，cmin=2

問題2是在問題1的基礎上再加進一個新的向量c，向量表達式c=λa+1-λb體現了三點共線.變式1-4對各條件和角度進行了改變，產生了不同的幾何性質，變式5更大膽地讓c也運動起來，最后轉化為兩圓相切問題.有了以上的探究，下面對2018年浙江高考平面向量試題進行分析，原來試題是那么自然而漂亮.

三、在真題中實踐（2018浙江高考第9題）已知a，b，e是平面向量，e是單位向量，若非零向量a與e夾角為π3，向量滿足b2-4e·b+3=0，則|a-b|的最小值是（）.

A.3-1 B.3+1C.2D.2-3

解法一?設OA=a，OB=b，OE1=e，OE2=2e，由b2-4e·b+3=0可得（b-2e）2=1，即|b-2e|=1，則b的終點B與2e的終點E2連線距離為1，所以b的終點在以E2為圓心，1為半徑的圓周上運動. a與e夾角為π3，即a的終點A在射線OP上運動.然后問題轉化為幾何問題，即圓周上動點與射線上動點的最小距離問題. 即|a-b|min=|AB|min=3-1.

解法二?設OA=a，OB=b，OE1=e，OE2=2e，由b2-4e·b+3=0可得

（b-e）·（b-2e）=0，即（b-e）⊥（b-2e）.所以b的終點在以E1E2為直徑的圓周上.下面同解法一.

著名的藝術家羅丹說：“美到處都有，生活中不是缺少美，而是缺少發現美的眼睛.”本文中簡潔的向量表達式展現了平面幾何中一些最美的性質.這就需要教師在高考復習過程中精心選擇教學復習材料，精心設計教學過程.在教學過程中要注意知識發現的過程，讓學生體會知識的來龍去脈，使學生在發現知識的過程中，經歷探究、思考、加工的過程，實現知識的“表象特征”到“內在價值”理解升華.著力讓學生數學能力數學素養在數學問題的解決過程中生成、在教學互動的過程中成長、在思維思辨過程中升華.

參考文獻：

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書（數學必修4）[M].北京：人民教育出版社，2008.

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