運用思維導圖分析 培養(yǎng)高階思維能力

于發(fā)書 曾飛鵬

[摘? 要] 為了解決學生對解決幾何綜合題感到困難的問題，文章通過引導學生繪制思維導圖，從而加強大腦的發(fā)散思維能力，提供給學生分析問題和解決問題的一種思維范式，以達到培養(yǎng)學生高階思維能力的目的.

[關(guān)鍵詞] 思維導圖;高階思維;思維可視化

常態(tài)數(shù)學課堂教學在不同程度上還存在“三多三少”現(xiàn)象，即教師講得多，提煉得少;學生做得多，思考得少;現(xiàn)成資料多，自主設計少. 這種現(xiàn)象導致學生在課堂上聽得懂，但在課后遇到新的問題，特別是在解決一些比較棘手的壓軸題時還是打不開思路. 這種現(xiàn)象從根本上來講，是因為教師高密度、低認知水平的課堂提問，和大容量、重復式的習題訓練不能提升甚至限制了學生高階思維的發(fā)展. 布魯姆將教育目標從認知維度分為記憶、理解和運用，分析、評價和創(chuàng)造. 高階思維是指發(fā)生在高層次認知水平上的心智活動，它對應教學目標分類中諸如分析、綜合、評價等高層次認知水平的能力，是創(chuàng)新能力、問題解決能力、決策力和批判思維能力的核心. 如何將抽象的、看似難以企及的高階思維能力培養(yǎng)變得有章可循，變得具體形象？這是擺在教師面前的一大課題. 而思維導圖是用圖表表現(xiàn)的發(fā)散性思維，發(fā)散性思維過程也就是大腦思考和產(chǎn)生想法的過程. 通過捕捉和表達發(fā)散性思維，思維導圖將大腦內(nèi)部的思維過程進行了外部呈現(xiàn). 本質(zhì)上，思維導圖是在重復和模仿發(fā)散性思維，反過來又放大了大腦的本能，讓大腦的思維更加有力.

本文就如何在課堂上利用思維導圖輔助教學，從而培養(yǎng)學生的高階思維能力加以簡單論述. 下面以2018年珠海市香洲區(qū)統(tǒng)考數(shù)學試卷的第24題第（3）問的講評為例來說明.

試題特點

原題呈現(xiàn)：如圖1，BC為⊙O的直徑，點A是弧BC的中點，連接BA并延長至點D，使得AD =AB，連接CD，點E為CD上一點，連接BE交弧BC于點F，連接AF.

（1）求證：CD為⊙O的切線;

（2）求證：∠DAF=∠BEC;

（3）若 DE=2CE=4，求AF的長.

本題第（3）問以圓為背景，涵蓋了等腰直角三角形、全等三角形、相似三角形等知識，綜合性強，靈活性大. 而且如果就題講題，學生的收獲甚微，但如果能運用思維導圖輔助教學，不僅可以條理清晰地講清本題的思路，還能將讓解題思路可視化，通過對一道題的研究，從而獲得諸如求線段長這一類問題的解題方法.

問題解決

在上課前，讓學生首先就求線段長的方法繪制一張思維導圖，一般的同學都可以繪制出如圖2所示的思維導圖，但每一種方法的處理策略是什么？很多學生對此是茫然的. 正因為如此，很多學生在解決這類問題的時候找不到思路和突破口. 下面從三個方面來研究.

1. 勾股定理法

要用勾股定理法求線段的長，則必須將所求線段放置于直角三角形中，若所求線段不在直角三角形中，則應作垂線，構(gòu)造直角三角形. 一般情況下，為了將所求線段完整地求出來，往往會過所求線段的端點作垂線. 按照這種思路，本題有如圖3的幾種思考.

由（1）（2）知，AC⊥AB，AC=AB，CF⊥BE，從而 BE=2■，CF=■，BF=■，AC=3■. 要求AF的長，可構(gòu)造含AF的直角三角形. 按照圖3的構(gòu)思，我們加以嘗試.

法1：如圖4，過點A作AG⊥AE交BE于點G，顯然，出現(xiàn)手拉手全等模型，即△ACF≌△ABG（ASA）所以BG=CF，AG=AF，△AGF為等腰直角三角形. GF=BF-BG=■，所以AF=■.

法2：如圖5，過點A作AH⊥BE于H. 因為∠AFH=∠ACB=45°， 所以△AHF是等腰直角三角形，設HF=x，則HA=x，BH=BF-HF=■-x.又AB=3■，在Rt△AHB中，由勾股定理得，x=■，所以AF=■.

法3：如圖6，作AN⊥CF于點N. 易得∠AFN=45°，設AN=x，則FN=x，在Rt△CAN中，由勾股定理得，x=■，所以AF=■.

法4：如圖7，作FQ⊥AC，設FQ=x，因為弧FC=弧FC，所以∠FAC=∠FBC，所以tan∠FAQ= tan∠EBC=■=■，所以AQ=3x，CQ= AC-AQ=3■-3x，在Rt△CFQ中，由勾股定理得，x=■（舍）或■，在Rt△AFQ中，由勾股定理得AF=■.

法5：如圖8，連接AO，過點F作FI⊥AO于I，作FK⊥BC于K，在Rt△BFC中，易得，F(xiàn)K=■，BK=■. 所以AI=AO-IO=AO-FK=■，F(xiàn)I=OK= BK-BO =■，在Rt△AIF中，AF2=AI 2+IF2=■，所以AF=■.

法6：如圖9，過點A作AN⊥CD于N，作FK⊥BC于K，交 AN于P. 類似于法5，得AP=■，PF=■，所以AF=■.

2. 相似法

用相似法計算線段的長，則需要將該線段置于兩相似三角形中. 而相似三角形不像全等三角形那么直觀易找，但我們常說“萬變不離其宗”，在試卷講評過程中，可以讓學生先回憶常見的相似模型，繪制成圖10所示的思維導圖，根據(jù)相似的幾種基本模型來尋找思路. 當原圖中沒有基本模型時，可以考慮通過作輔助線構(gòu)造出相應的模型.

法7：如圖1，因為∠DAF=∠BEC，所以∠BAF=∠BED，又∠DBE=∠FBA，所以△ABF∽△EBD，所以■=■，得AF=■.？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖

法8：如圖11，連接CF，則出現(xiàn)子母型相似. BC2=BF·BE，CD2= DA·DB= BA·DB， 因為BC=CD，所以BF·BE= BA·DB，所以■=■. 又∠ABF=∠EBD，所以△ABF∽△EBD，■=■，得AF=■.

法9：如圖11，設BF與AC交于點R，易得兩組“8”字形相似，因為△BAR∽△CFR，所以■=■，得BR=■CR，又AR=3■-CR，在Rt△ABR中，由勾股定理得，AR=■，BR=■，又△ARF∽△BRC，所以■=■，AF=■.

法10： 如圖12，過點D作DS∥AF，交BE的延長線于點S，過點D作DT⊥BS于點T. 因為DS∥AF，所以△ABF∽△DBS，■=■=■=■，所以ES=BS-BE=■-2■=■. 設ET=x，因為tan∠DET=tan∠BEC=3，則DT=ET·tan∠DET=3x，因為弧AB=弧AB，所以∠AFB=∠ACB=45°.

因為DS∥AF，所以∠S=∠AFB=45°，所以ST=DT=3x.又ET+TS=ES，所以4x=■，x=■，所以DS=■·TS=■，所以AF=■.

法11：如圖13，連接AO交BE于點M，作AH⊥BE于點H. 易得△ABM∽△DBE，所以■=■=■，所以AM=2，因為sin∠AMH= sin∠BEC=■，所以AH= AM·sin∠AMH=■，所以AF=■AH=■.

3. 解析法

所謂解析法求線段長，是指將所研究的問題放在平面直角坐標系內(nèi)，求出所求線段的端點坐標，再通過兩點距離公式求出線段的長. 基于此，我們有如圖14所示的幾種思考.

法12：如圖15，以BC所在直線為x軸，OA所在直線為y軸，建立平面直角坐標系. 則BE：y=■x+1，因為點F在⊙O上，所以設F（3cosα，3sinα），將點F坐標代入BE解析式，得3sinα= cosα+1，又sin2α+cos2α=1，所以sinα=■， cosα=■，F(xiàn)■，■，因為A（0，3），所以AF=■=■.

法13：如圖15建立平面直角坐標系. 可求得直線BE的解析式為y=■x+1，直線CF的解析式為y=-3x+9，從而得兩直線的交點F■，■，同法11，得AF=■.

教學啟示

1. 在問題解決的過程中，恰當?shù)剡\用思維導圖，首先可以起到將零散的知識系統(tǒng)化的作用，如圖2、圖10. 在解題之前，我們往往先要重現(xiàn)學過的基本方法、基本模型，而思維導圖的可視化功能可以使頭腦中的記憶顯性化，既是對所學知識的及時總結(jié)和提煉，又可以減輕解題過程的思維量，使得解題規(guī)律模型化. 圖3的運用，通過捕捉和表達發(fā)散性思維，思維導圖將大腦內(nèi)部的過程進行了外部呈現(xiàn)，放大了大腦的本領(lǐng)，加強了大腦的思維能力. 圖14將頭腦中的化歸過程顯性化，使得解題的方向明確，加強了思維的條理性. 另外，若將以上幾幅思維導圖整合成一張大的思維導圖，則有效地完成了本內(nèi)容的筆記，使得學生對解決求線段長這類問題所涉及的方法、策略有了更深層次的認識，從而實現(xiàn)用方法指導實踐（解題），從實踐中總結(jié)規(guī)律，在一般規(guī)律中實現(xiàn)解題能力、思維發(fā)散能力的提升，進而實現(xiàn)問題解決的創(chuàng)新，達到培養(yǎng)高階思維的目的.

2. 在當今信息化發(fā)展迅猛的年代，識記、理解等低階思維學習的重要性在逐漸弱化，而培養(yǎng)學生具有分析、評價、創(chuàng)新等高階思維能力的重要性正在得到提升，不論是課程標準的要求，還是社會發(fā)展的需要都要求學生具有終身學習、分析問題、解決問題、創(chuàng)造創(chuàng)新的能力. 在講評本題的過程中，師生一起繪制思維導圖，大膽猜想實踐，教師在每一類方法中挑出一種方法細研，其他的方法交給學生討論，或者互相教授. 在整個過程中，學生的興趣得到激發(fā)、思維得到啟發(fā). 教師從一般的解決問題的方法入手，再具體到本題的應用上來，再在解題之后適時反思評價，形成解題經(jīng)驗和方法，符合用理論指導和實踐探索的辯證統(tǒng)一. 通過這種科學的實踐探索，能養(yǎng)成學生解決問題的良好習慣和一般方法，為培養(yǎng)高階思維打下基礎.