一個三角不等式的探究

廣東省佛山市實驗中學(528300) 謝偉帆

1 試題呈現

題目(2019年高考全國Ⅰ卷文科第20 題)已知函數f(x)=2 sinx?xcosx?x,f′(x)為f(x)的導數．

(1)略;(2)若x ∈[0,π]時,f(x)≥ax,求a的取值范圍．

2 分析思考

第2 問求出a的取值范圍是(?∞,0],整理不等式得x ∈[0,π]時,2 sinx?xcosx≥(a+1)x.根據筆者的經驗,求參數范圍的題目參數的臨界值往往是相切的狀態,當a=0 時,不等式為2 sinx?xcosx≥x,從而筆者思考,y=x是函數g(x)=2 sinx?xcosx的切線嗎?這個不等式能不能推廣?x的取值范圍必然影響參數a的取值,能找到兩者的關系嗎?

3 模型建立

推理一y=x是函數g(x)=2 sinx?xcosx在x=0處的切線.

實際上,g′(x)=2 cosx?(cosx?xsinx)=cosx+xsinx,g′(0)=1,g(0)=0,所以g(x)在x=0 處的切線為y=x.果不其然,參數臨界值是相切的狀態.那么不等式能推廣嗎? 通過觀察猜想,筆者建立了不等式模型asinx?xcosx≥(a?1)x.由于y=asinx?xcosx,y=(a?1)x均為奇函數,因此在研究時只需研究x≥0 的情況,下面對參數a進行分類討論.

推理二若a≤0,則asinx?xcosx≥(a?1)x在[0,+∞)恒成立.

實際上,因為cosx≤1,x≥0,所以?xcosx≥?x,又由于sinx≤x,a≤0,所以asinx≥ax.因此asinx?xcosx≥ax?x=(a?1)x.

下面考慮a＞0,x ∈[0,+∞)的情況.

推理三若a≥3,不存在區間[0,m](m＞0),使得asinx?xcosx≥(a?1)x成立.

實際上,令h(x)=asinx?xcosx?(a?1)x,則asinx?xcosx≥(a?1)x等價于h(x)≥0.h′(x)=(a?1)(cosx?1)+xsinx.因為h(0)=0,h′(0)=0,要存在區間[0,m](m＞0)使h(x)≥0 成立,則所以利用洛必達法則

所以a＜3,反之a≥3,則不存在區間[0,m](m＞0)使h(x)≥0 成立.

推理四“0＜a＜3”是“存在區間[0,m](m＞0),使得asinx?xcosx≥(a?1)x成立”的充要條件,且a的值與m的最大值一一對應.

實際上,由推理三的證明可知存在區間[0,m](m＞0)使h(x)≥0 成立的充要條件是0＜a＜3.令h(x)=asinx?xcosx?(a?1)x,當h(x)=0 時,令下證F(x)在(0,2π)單調遞減.

令G(x)=(cosx?1)(sinx+x)+x2sinx,其中cosx?1＜0,sinx+x＞0,所以(cosx?1)(sinx+x)＜0.

①當x ∈[π,2π),sinx≤0,x2sinx≤0,所以F′(x)≤0.

G′′(x)=(3x?4 sinx)cosx+(1?x2)sinx.因為x ∈所以＞4＞4 sinx,(3x?4 sinx)cosx＜0,(1?x2)sinx＜0,所 以G′′(x)＜0,G′(x)單調遞減,所以G(x)單調遞減,所以F′(x)＜0.

④當x ∈x2sinx≤x2,所以G(4)(x)≤?9 sinx?7xcosx+16 sinxcosx+x2,令I(x)=?9 sinx?7xcosx+16 sinxcosx+x2,則I′(x)=?16 cosx+7xsinx+16cos2x?16sin2x+2x,因為xsinx≤x,所 以I′(x)≤?16 cosx+9x+16cos2x?16sin2x.

令J(x)=?16 cosx+9x+16cos2x?16sin2x,J′(x)=16 sinx+9?64 cosxsinx,J′′(x)=16 cosx+64(sin2x?cos2x)＞0,所以J′(x)遞增,所以存在J(x)在遞減,在遞增,所以J(x)＜0,即I′(x)≤J(x)＜0,I(x)單調遞減,所以所以G(4)(x)≤I(x)＜0,G(3)(x)遞減,同理,所以F′(x)＜0.

綜上可知F′(x)＜0 在(0,2π)恒成立,F(x)單調遞減,利用洛必達法則

F(2π)=0,所以x ∈(0,2π)與a ∈(0,3)一一對應,即對于一確定的a1∈(0,3),可以在(0,2π)找到對……