二面角視角下多面體外接球的探究

福建省廈門市湖里中學(xué)(361006) 嚴(yán) 杜

廣東省廣州市荔灣區(qū)教育發(fā)展研究院(510370) 龐新軍

近年來(lái)求多面體外接球的問(wèn)題在高考試卷和各地模擬卷中頻頻出現(xiàn),解決多面體外接球的方法主要依靠構(gòu)造長(zhǎng)方體模型來(lái)求解,有較大的局限性.筆者注意到在求多面體外接球中已融入“二面角”的現(xiàn)象,本文從兩道求多面體外接球的問(wèn)題出發(fā),以“二面角”的視角來(lái)進(jìn)行多面體外接球的探究.

一、問(wèn)題提出

題1(2013年高考全國(guó)卷理科第16 題)如圖1,已知圓O和圓K是球O的大圓和小圓,其公共弦長(zhǎng)等于球O的半徑,且圓O與圓K所在的平面所成的一個(gè)二面角為60?,則球O的表面積等于____.(答案:16π.)

圖1

圖2

題2如圖2,已知四棱錐P?ABCD的頂點(diǎn)都在球O的球面上,底面ABCD是矩形,平面PAB ⊥平面ABCD,?PAB為正三角形,AD=2,AB=4,則球O的表面積為____.(答案:.)

題1 中兩個(gè)截面圓所在平面所成二面角為60?,題2 中平面PAB⊥平面ABCD,即兩個(gè)平面所成二面角為90?,二者同為特殊角,求解方法是否有通法可循? 筆者接下來(lái)對(duì)上述兩題的立體幾何圖形背景進(jìn)行深入分析,結(jié)合二者的特點(diǎn)從特殊到一般展開探究.

二、二面角為90?的多面體外接球探究

探究1在球內(nèi)接多面體中,存在兩個(gè)不同的相交面互相垂直,且分別在球O的截面圓O1、O2上,兩截面圓的半徑分別為r1、r2,兩相交面的公共弦為AB,弦長(zhǎng)為2l,求球O的半徑R.

解析如圖3,M為公共弦AB中點(diǎn),則在Rt?AMO1和Rt?AMO2中,可知兩圓的弦心距有MO12=r21?l2,MO22=r22?l2.又圓O1所在平面與圓O2所在平面垂直,有∠O1MO2=90?,因此平面四邊形OO1MO2為矩形,則外接球的弦心距有:MO2=MO12+MO22.在Rt?AMO中,OA2=MO2+l2.綜上所述,球O的半徑……