一道解析幾何試題的研究與推廣

貴州省貴州師范大學數學科學學院(550025) 姜 文

貴州省貴陽為明國際學校(550018) 駱萬麗

貴州省2020年普通高等學校招生適應性考試文科數學第11 題是一道解析幾何試題,命題者以直線與拋物線的位置關系為背景,考查了學生綜合運用數學知識解決問題的能力.題目立足基礎知識和基本思想方法,是一道質量較高的試題,主要涉及數學運算、邏輯推理和直觀想象等核心素養.下面對它做進一步研究.

試題已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,其準線l與x軸相交于點M,過點M作斜率為k的直線與拋物線C相交于A,B兩點,若∠AFB=60?,則k=( ).

1 試題解答

解設直線AB的方程為y=k(x+1),由消去y得k2x2+(2k2?4)x+k2=0,因為直線與拋物線有兩個交點,所以上述方程有兩個實數根,所以?=(2k2?4)2?4k4≥0,解得k2≤1,設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2=1,由拋物線的定義可知

由cos ∠AFB=得

將x1+x2和x1x2的值帶入化簡得解得符合條件,故答案選D.

2 問題提出

該題是一個直線與圓錐曲線相交的典型問題,它集中體現了解析幾何中用代數來研究幾何圖形的“解析法”的基本思想,以上的解答是直線與圓錐曲線相交問題的常規解決方法.從解答過程可以看出,向量和拋物線的定義在解決問題的過程中起到了關鍵作用.

從上述解法可以看到,直線AB的斜率k與∠AFB的大小有著密切關系,它們是相互制約的,反而拋物線的方程似乎并不是關鍵的條件.由此我們可以猜測,如果改變∠AFB的大小,那么直線AB的斜率k就會發生變化,此時關系式是否依然成立呢? 筆者對此做了研究.下面我們以性質的形式給出它們的一……