好題還須配好方法

湖北武漢經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)教育局教學(xué)研究室(430056) 何文桂

筆者已年逾七旬,近期再次翻閱數(shù)學(xué)雜志時(shí),又發(fā)現(xiàn)了很多好文章好試題,它們都是作者辛勤勞動(dòng)的成果智慧的結(jié)晶,但美中不足的是有的題雖好,解法或較繁或“超綱”不利于教學(xué)中使用造成資源浪費(fèi),因此,為了讓好的結(jié)論能服務(wù)于教學(xué),優(yōu)化解法的環(huán)節(jié)頗為重要.

案例1(文[1]的變式題2)如圖1,橢圓b＞0)的長(zhǎng)軸為AB,L是過(guò)點(diǎn)B且垂直于x軸的直線,P是橢圓E上異于A,B的任意一點(diǎn),PH ⊥x軸,H為垂足,延長(zhǎng)HP到Q,連接AQ交橢圓E于點(diǎn)T,延長(zhǎng)AQ交直線L于點(diǎn)M,N為MB的中點(diǎn).若則直線TN與橢圓E相切于點(diǎn)T.

原文解法設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),由得直線AQ的方程為聯(lián)立直線AQ與橢圓E的方程求得

再寫出橢圓E在點(diǎn)T的切線方程

然后將點(diǎn)N的坐標(biāo)代入切線方程左邊證明其等于1 從而說(shuō)明點(diǎn)N在切線上.

點(diǎn)評(píng)(1)上述解題過(guò)程思路雖然清淅,但計(jì)算過(guò)繁,一般學(xué)生無(wú)法完成.

(3)點(diǎn)T并非一定要與點(diǎn)Q關(guān)聯(lián),只要T是橢圓上異于A,B的任意一點(diǎn),直線AT交直線L于點(diǎn)M,N為線段BM的中點(diǎn),則直線NT為橢圓的切線.

下面提供的解題方法似乎優(yōu)于原文解法.

試題1如圖1,橢圓的長(zhǎng)軸為AB,L是過(guò)點(diǎn)B且垂直于x軸的直線,P是橢圓E上異于A,B的任意一點(diǎn),PH ⊥x軸,H為垂足,延長(zhǎng)HP到Q,且連接AQ交橢圓E于點(diǎn)T,延長(zhǎng)AQ交直線L于點(diǎn)M,N為MB的中點(diǎn).

(1)求點(diǎn)Q的軌跡C的方程,并證明直線NQ為軌跡C的切線;

(2)證明直線NT與橢圓E相切于點(diǎn)T.

解(1)軌跡C的方程為x2+y2=a2.(過(guò)程略)

設(shè)Q(x1,y1),直線AQ的方程為則,因?yàn)?/p>

所以O(shè)Q ⊥QN,故NQ與大輔助圓C相切于點(diǎn)Q.

(2)設(shè)T(x0,y0),直線AT的方程為橢圓E在點(diǎn)T的切線方程為將點(diǎn)N的坐……