細細感悟 殊途同歸
——雙變量不等式問題的幾種解決方法

廣東省廣州市第十六中學(510080) 龍麗君

導數是高中教學的難點內容,在高考中往往以壓軸題的形式出現,對學生的思維要求很高.導數中的不等式問題由于其靈活多變,而且可以由單變量問題發展到雙變量,甚至是多變量問題,往往成為學生在考場上難以逾越的障礙.本文結合實例,論述該類問題的解決之道.

類型一 沒有制約關系的雙變量不等式問題

策略1.分離變量,轉化為兩函數的最值問題

例1已知函數函數g(x)=x2?kx,若?x1∈(0,1),?x2∈[1,2],總有f(x1)≥g(x2)成立,求實數k的取值范圍.

分析先將x2看成常數,得到[f(x1)]max≥g(x2),易求得然后再將x2看成變量,轉化為[f(x1)]max≥[g(x2)]max.函數g(x)=x2?mx是開口向上的二次函數,最大值為g(1)與g(2)中的較大者.所以解得實數k的取值范圍為[8?5 ln 2,+∞).

評注這是含有存在量詞與全稱量詞的雙變量問題,其中兩個變量取值是自由的,并且兩者已經是分離狀態(若不是分離狀態,先分離變量).對于該類問題,可以將其看成兩個獨立的函數來理解,最后轉化為兩個函數在各自的定義域內求最值,再比較最值.

策略2.分離變量,統一外形,構造新函數

例2(2010年高考遼寧卷理科第21 題)已知函數f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.

(1)討論函數f(x)的單調性;

(2)設a＜?1,如果對于任意x1、x2∈(0,+∞),恒有|f(x1)?f(x2)|≥4|x1?x2|,求a的取值范圍.

分析(1)略.(2)首先要去絕對值符號,然后分離變量,將兩個變量x1,x2拆分到不等號兩端.不妨取x1≥x2,由(1)可知,當a＜?1 時,函數f(x)在(0,+∞)單調遞減,所以|f(x1)?f(x2)|≥4|x1?x2|可拆分為f(x1)+4x1≤f(x2)+4x2.觀察兩式結構,構造新函數g(x)=f(x)+4x,從而將已知條件等價轉換為函數g(x)在(0,+∞)單調遞減,即g′(x)≤0 在(0,+∞)恒成立.故實數a的取值范圍為(?∞,?2].

評注本題所給不等式中……