2020年廣東省一模不等式選講問題的解題研究

廣東省普寧市華僑中學(515300) 陳鑫城

從近五年不等式選講模塊的高考試題來看,考查的重點有:絕對值函數、絕對值不等式的求解、含絕對值不等式的參數范圍問題;不等式的證明與綜合應用等.高考的熱點為絕對值不等式的求解.試題為中檔難度,一般有兩個設問,基本上都含有參數,經常以含絕對值的函數來表示不等關系,本文選擇的2020 廣東一模的不等式選講題目主要是考查絕對值不等式的解法和利用不等式恒成立求參數的范圍.

1 試題呈現

題目(2020年廣東省一模第23 題)已知函數f(x)=

(1)當k=1 時,解不等式f(x)≤1;

(2)若f(x)≥x對于任意的實數x恒成立,求實數k的取值范圍.

2 難點解讀

第一問考查絕對值不等式的解法相對簡單,在此不作研究.本文主要研究的是第二問利用不等式的恒成立求參數范圍的幾種常見的做法.

解法1(數形結合)f(x)≥x對于任意的實數x恒成立,即在R 上恒成立,也即在R 上恒成立,令

作出y=g(x)的圖象如圖所示:要使|x?k|≥g(x)在R 上恒成立,則函數y=|x?k|的圖象應恒在函數y=g(x)的圖象的上方,由數形結合可得k≤?1,所以k的取值范圍(?∞,?1].

點評數形結合思想是貫穿高中課程的主線,也是數學最本質的思想方法之一,它的實質是把抽象的數學語言、數量關系和直觀的圖形結合起來,它包括“以形助數”和“以數輔形”兩個方面,本題應用數形結合將在R 上的恒成立問題轉化為函數y=|x?k|的圖象應恒在函數y=g(x)的圖象的上方問題,有效的避免了繁瑣的分類討論.

解法2形如|f(x)|＜g(x),|f(x)|＞g(x)型不等式,可以把g(x)看成一個大……