運用“半分離法”破解一類恒成立問題

浙江省寧波市第四中學(315016) 蔣亞軍 魏定波

導數作為高考和模考中的壓軸題,常考常新,學生普遍感覺解題困難、得分不易.針對頻頻出現以泰勒展開式為背景的一類恒成立問題,可以運用“半分離法”來優化破解這類問題.本文以追尋通法、方法運用和相關試題三部分來展開討論.

1 追尋通法

試題呈現(2010年高考全國卷理科)設函數f(x)=ex?1?x?ax2,當x≥0 時,f(x)≥0,求a的取值范圍.

試題背景本題是以ex的泰勒展開式為背景的試題,由于ex=1+x+當x≥0 時,ex≥1+x+所以,若x≥0 時有成立,則又當x≥0 時,f(x)≥0 也成立,所以,f(x)≥0 恒成立的a的取值范圍是:

一般解法:f′(x)=ex?1?2ax,令g(x)=f′(x),g′(x)=ex?2a,當時,g′(x)≥0 在[0,+∞)上恒成立,所以g(x)在[0,+∞)上遞增,g(x)≥g(0)=0,即f′(x)≥0(x ∈[0,+∞)),所以f(x)在[0,+∞)上遞增,f(x)≥f(0)=0,所以符合題意.下面再證的必要性.

綜上所得a的取值范圍為

上述解法的原理是先“充分”后“必要”,但解題之中運用了二次求導,對學生來說,普遍感到困難.解題過程中,學生最容易想到變量a,x的分離,即而缺乏高等數學背景支持下,不易求出函數的最小值.實際操作中發現:由于[exf(x)]′=ex[f(x)+f′(x)],于是函數y=exf(x)的極值點研究可以在多項式函數中展開,為此,對這類問題提出一種便于學生操作的解法.

將f(x)≥0 變形為e?x(1+x+ax2)≤1,令F(x)=e?x(1+x+ax2)(x≥0),F′(x)=e?x[?ax2+(2a?1)x](x≥0).

當a＜0 時,由F′(x)=0,得x1=0,當時,F′(x)＜0,當時,F′(x)＞0,當x →+∞時,F(x)=e?x(1+x+ax2)→0,所以F(x)max=F(0)=1,即e?x(1+x+ax2)≤1 恒成立.

當a=0 時,F(x)=e?x(1+x),F′(x)=e?x(?x)≤0,所以當x≥0 時,F(x)≤1 恒成立.

當a＞0 時,若則當時,F′(x)＞0,則F(x)＞F(0)=1 與條件矛盾;若則當x ∈[0,+∞)時,F′(x)＜0,即e?x(1+x+ax2)≤1 恒成立.故

將ex?1?x?ax2≥0 變形為e?x(1+x+ax2)≤1 的方法稱之為“半分離法”,下面結合高考和模考試題,說明該方法的運用.

2 方法運用

例1(2019 學年杭州市高三期末檢測卷試題)設函數f(x)=ex+ax,x ∈R.若對任意的x ∈[0,+∞)均有2f(x)+3≥x2+a2,求實數a的取值范圍.

解由2f(x)+3≥x2+a2,得e?x(x2?2ax+a2?3)≤2,令F(x)=e?x(x2?2ax+a2?3)(x≥0),

令F′(x)=0,得x1=a?1,x2=a+3.

(1)若a+3≤0,當x≥0 時,F′(x)≤0,即函數y=F(x)在[0,+∞)上……