對一道高考試題的再探究

福建省福鼎市第六中學(355200) 謝卿孝

《數學通訊》2019年第11 期(上半月)有三篇文章談及2019年全國卷Ⅱ理科第21 題,給出了試題的多種解法及試題的源與流,其中文[2]和[3]還分別給出了試題的推廣,其中對該試題的第(2)(i)小題給出了類似的推廣結論.讀后頗受啟發,但覺意猶未盡,還可以繼續進行探究,得到新的結論.先把原試題及文[2]和[3]對試題第(2)(i)小題的推廣結論抄錄如下:

試題(2019年高考全國卷Ⅱ理科第21 題)已知點A(?2,0),B(2,0),動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為記M的軌跡為曲線C.

圖1

(1)求C的方程,并說明C是什么曲線;

(2)過坐標原點的直線交C于點P,Q兩點,點P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為E,連接QE并延長交C于點G.(i)證明:?PQG是直角三角形;(ⅱ)略.

性質A(文[2]的結論3 與文[3]的結論(1)的綜合)已知橢圓過坐標原點的直線交橢圓C于A,B兩點(A,B與橢圓C的頂點不重合),AM⊥x軸于點M,直線BM交橢圓C于點D,直線AB,AD的斜率分別為k1,k2,則有

探究1在性質A 中,有兩個條件(1)(2),一個結論(3):

若設A(x0,y0),則由條件(1),(2)可以得到B(?x0,?y0),M(x0,0),及

如果去掉條件(2),(4)也可以由(1)(3)得出.

結論1已知橢圓過坐標原點的直線交橢圓C于A(x0,y0),B兩點(A,B與橢圓C的頂點不重合),點M在x軸上,直線BM交橢圓C于點D,AB,AD的斜率分別為k1,k2,則的充要條件是BD的斜率

探究2如果k1k2=λ(λ為非零常數),那么,其充要條件是什么? 經探究,可得

結論2已知橢圓過坐標原點的直線交橢圓C于A(x0,y0),B兩點(A,B與橢圓C的頂點不重合),點M在x軸上,直線BM交橢圓C于點D,AB,AD的斜率分別為k1,k2,λ為非零常數,則k1k2=λ的充要條件是直線BD的斜率

證明由點A(x0,y0)及直線AB過坐標原點,得B(?x0,?y0),且由探究1 知若k1k2=λ,則

在結論2 中,若設M(xM,0),則

直線AM的……