高考中與向量交匯考題的分類例析

江蘇省鎮江市丹徒高級中學(212143) 范習昱

向量不僅具有強大的工具性,廣泛運用于函數、解析幾何等高中重要知識,而且還具有很強大的兼容性,以向量為背景,命制的三角、函數、不等式、直線和圓以及圓錐曲線等解析幾何綜合題不僅新穎別致,而且富含數學思想和考驗計算技能,得到很多命題者的青睞.

筆者翻閱分析各地大量高考數學試卷,選取與向量交匯的典型例題,分類例析,以饗讀者.

1.向量與三角的交匯

例1(2015年高考廣東卷理科第16 題)在平面直角坐標系xOy中,已知向量

(1)若m⊥n,求tanx的值;

(2)若m與n的夾角為,求x的值.

解(1)tanx=1,過程從略.(2)由于m與n的夾角為所以

例2(2013年高考江蘇卷第15 題)已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),0＜β＜α＜π.

(2)設c=(0,1),若a+b=c,求α,β的值.

解(1)略.(2)由于①2+②2得:所以,帶入②得:

例3(2014年高考山東卷理科第16 題)已知向量a=(m,cos 2x),b=(sin 2x,n),函 數f(x)=a · b,且y=f(x)的圖像過點和點

(Ⅰ)求m,n的值;

(Ⅱ)將y=f(x)的圖像向左平移φ(0＜φ＜π)個單位后得到函數y=g(x)的圖像,若y=g(x)圖像上各最高點到點(0,3)的距離的最小值為1,求y=g(x)的單調遞增區間.

解(Ⅰ)過程從略.(Ⅱ)由(Ⅰ)知由題意知設y=g(x)的圖像上符合題意的最高點為(x0,2),由題意知x20+1=1.所以x0=0,即到點(0,3)的距離為1 的最高點為(0,2).

將其代入y=g(x)得又因為0＜φ＜π,所以因此g(x)=2 sin=2 cos 2x.

由?π+2kπ≤2x≤2kπ,k ∈Z,得kπ,k ∈Z,所以f(x)的單調增區間為

例4(2014年高考遼寧卷理科第17 題)在?ABC中,內角A,B,C的對邊a,b,c,且a＞c,已知?→BA·??→BC=2,求:

(Ⅰ)a和c的值;

(Ⅱ)cos(B?C)的值.

解(Ⅰ)a=3,c=2,過程從略(Ⅱ)過程從略.

點評與反思向量與三角的交匯是各省市高考題中的常考題型,也是最受命題者青睞的中檔難度的題型之一.以上幾個案例基本覆蓋了向量與三角交匯的所有題型,分別是向量與三角恒等變換交匯……