一個(gè)截面問(wèn)題的解法與變式探究

廣東省深圳市高級(jí)中學(xué)(518040) 高 軍

問(wèn)題呈現(xiàn)如圖1,長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中,E,F分別為棱AB,A1D1的中點(diǎn),直線DB1與平面EFC的交點(diǎn)為O,則的值為( ).

圖1

本題是2020 屆深圳市高三線上第一次模擬考試數(shù)學(xué)理科試題,具有題干簡(jiǎn)潔、問(wèn)題明了、解法多樣、內(nèi)涵豐富的特點(diǎn).以立體幾何中的截面為載體,綜合考查學(xué)生空間想象、邏輯推理和運(yùn)算求解能力,考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等學(xué)科核心素養(yǎng).

一、解法探究

考試的最后統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明,此題得分率較低,主要原因是學(xué)生空間幾何體截面的作法還不熟練,解決截面問(wèn)題的思路不明確.下面呈現(xiàn)解決本題的三種思路、五種解法,與讀者交流.

思路1(幾何視角)用相似三角形性質(zhì)求解

圖2

圖3

解法1如圖2,作平面EFC與長(zhǎng)方體的截面,延長(zhǎng)CE交DA延長(zhǎng)線于G,連接GF并延長(zhǎng),分別交AA1,DD1延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,H,連接CH交C1D1于N,則五邊形EMFNC即為平面EFC與長(zhǎng)方體的截面.連接B1D1交FN于點(diǎn)S,由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例易得所以

解法2如圖2,設(shè)點(diǎn)D,B1,D1到平面EFC的距離分別為h1,h2,h3,由解法1 可知由此可得故

評(píng)注:以上兩種解法思路一致,即以平面的三個(gè)公理為主要依據(jù)作出截面圖形,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例,將線段的比轉(zhuǎn)化為圖中易求的線段比,過(guò)程簡(jiǎn)潔,對(duì)邏輯思維和空間想象能力要求較高.

思路2(向量視角)用平面向量基本定理求解

解 法3設(shè)則故在?DFO中,

思路4(代數(shù)視角)用點(diǎn)到平面的距離公式求解

解法4建立如圖3 所示空間直角坐標(biāo)系,設(shè)棱AD,AB,AA1的長(zhǎng)度分別為a,b,c,則所 以

設(shè)平面EFC的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則令x=1 得……