對一道福建省質(zhì)量檢測試題的探究

福建省仙游第一中學(xué)(351200) 林碧霞

2020年福建省高三畢業(yè)班質(zhì)量檢查測試?yán)砜圃囶}第19題如下:

題目已知橢圓=1(a＞b＞0)的焦距為直線l1:x=4 與x軸的交點(diǎn)為G,過點(diǎn)M(1,0)且不與x軸重合的直線l2交E于點(diǎn)A,B,當(dāng)l2垂直x軸時,?ABG的面積為

(1)求E的方程;

(2)若AC⊥l1,垂足為C,直線BC交x軸于點(diǎn)D.證明:|MD|=|DG|.

本題(1)的答案是:E的方程為(2)的內(nèi)涵豐富,意境深邃,具有進(jìn)一步探究的價值,可以引導(dǎo)學(xué)生對此作深入探究.

1.縱向探究:由特殊到一般的探究

本題(2)的結(jié)論表明:直線BC過線段MG的中點(diǎn)顯 然,點(diǎn)M(1,0)和直線x=4不是橢圓的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線,但可視為橢圓E:的“類焦點(diǎn)”和“類準(zhǔn)線”.那么,對一般橢圓的“類焦點(diǎn)”F(m,0)(0＜m＜a)和“類準(zhǔn)線”能否成立? 經(jīng)探究,可得

命題1.1已知橢圓過定點(diǎn)M(m,0)(0＜m＜a)且不與x軸重合的直線l交橢圓E于點(diǎn)A,B,定直線與x軸的交點(diǎn)為G,過點(diǎn)A作直線l1的垂線,垂足為C,直線BC交x軸于點(diǎn)D,則|MD|=|DG|.

證明設(shè)直線l的方程為x=hy+m,與橢圓E的方程聯(lián)立,得b2(hy+m)2+a2y2?a2b2=0,整理得(a2+b2h2)y2+2b2hmy+b2(m2?a2)=0.

又直線BC的方程為令y=0,可得直線BC與x軸交點(diǎn)D的橫坐標(biāo)xD=進(jìn)而可得

由此即得|MD|=|DG|,證畢.

特別地,當(dāng)a2=4,b2=1,m=1 時,有|MD|=|DG|.這就是上述試題第(2)小題的結(jié)論.

在命題1.1 中,由結(jié)論|MD|=|DG|知,直線BC過線段MG的中點(diǎn)即特別地,當(dāng)m=c時,可得命題1.1 的推論(即文[1]的命題1,其中的字母有所調(diào)整):

推論已知橢圓=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F(c,0),過F點(diǎn)的直線l與E交于A,B兩點(diǎn),過點(diǎn)A作直線的垂線,垂足為C,則直線BC恒過定點(diǎn)

特別地,當(dāng)a2=4,b2=3 時,c=1,直線BC恒過定點(diǎn)同理可得直線AH(H為過點(diǎn)B作直線l1的垂線的垂足)恒過定點(diǎn)即直線AH與BC相交于定點(diǎn)這就是2016年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖南賽區(qū)預(yù)賽試題題13 第(2)小題的結(jié)論:

(1)求橢圓C的方程(答案:橢圓C的方程……