一道最小值問題的多種解法探索

上海市行知中學(201999) 范廣哲

上海市高境第一中學(200439) ，顧銘鑒

問題已知m,n,k,x,y ∈R+,滿足

求xy的最小值.

方法1由二元均值不等式可得,xy=mx+ny+k≥等號成立當且僅當mx=ny.代入(?)式解得

即xy的最小值為此時

方法2(?)式兩邊同除xy,得由二元均值不等式可得,等號成立當且僅當代入(?)式解得

即xy的最小值為此時

方法3由題可得,(mx+ny)2=(xy?k)2,整理可得,

即(xy)2?2(2mn+k)xy+k2≥0,等號成立當且僅當mx=ny.代入(?)式解得

解得

或

方法4整理得,,x＞n.令f(x)=xy=則

等號成立當且僅當解得進一步可得y=因而xy的最小值為2mn+k+

方法5整理得,,x＞n.令f(x)=xy=,則

由f′(x)=0,可解得當n＜x＜時,函數f(x)單調遞減,當x＞時,函數f(x)單調遞增,因而

方法6構造拉格朗日函數

下面對L(x,y,λ)分別求關于x,y,λ的一階偏導并分別令其等于零,可得

方法7整理得,x＞n.令A=xy=關于x的方程mx2+(k?A)x+An=0 存在大于n的解.可得解得

因而xy的最小值為此時

應用舉例

例1(2010年高考浙江卷文科數學15[1])已知x,y ∈R+,滿足2x+y+6=xy,求xy的最小值.

解特別地,當m=2,n=1,k=6 時,得(xy)min=18,此時x=3,y=6.

例2已知x,y ∈R+,滿足2xy?x?2y=1,求xy的最小值.

解整理可得特別地,當n=時,得此時

例3已知m,n,x,y ∈R+,滿足mx+ny=xy,求xy的最小值.

解特別地,當k=0 時,結論仍然成立,xy的最小值為4mn,此時x=2n,y=2m.

例4已知x,y ∈R+,滿足(x?1)(y?1)=2,求xy的最小值.

解整理可得x+y+1=xy,特別地,當m=n=k=1時,得此時

例5已知x＞y＞0,滿足x2?y2?3x+y=4,求x2?y2的最小值.

解整理可得(x+y)+2(x?y)+4=(x+y)(x?y),換元,令x1=x+y,y1=x?y,其中x1＞0,y1＞0,則x1+2y1+4=x1y1,特別地,當m=1,n=2,k=4 時,可得當

等號成立.因而x2?y2的最小值為此時

例6已知m,n,x,y,k ∈R+,滿足mx+ny+kxy=1,求xy的最大值.

解兩邊同除xy可得換元,令其中x1＞0,y1＞0,則nx1+my1+k=x1y1,可得

等號成立時,解得

因而xy的最大值為此時