二維柯西不等式一個特例及其應用

安徽省合肥市第四中學(230000) 鄭 良

江蘇省睢寧縣新城區實驗學校(221200) 苗 勇

二維形式的柯西不等式為(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,其中a,b,c,d ∈R.如果令c=cosθ,d=sinθ,則有a2+b2≥(acosθ+bsinθ)2,即

當且僅當asinθ=bcosθ時等號成立.

在以上賦值中,c2+d2=1 僅僅為突出a2+b2結構形式的需要,而非本質的.從伸縮變換的角度,當c2+d20時,

代入化簡可得(1).不等式(1)的證明方法很多,我們可以從幾何的角度給出證明.實際上,在平面直角坐標系中,記過原點的直線cosθ · x+sinθ · y=0 為l,點M(a,b)到l的距離為|acosθ+bsinθ|,點M到原點O的距離故有當OM⊥l,即滿足asinθ=bcosθ時不等式等號成立.

由不等式(1)可得

等號成立的條件是acosθ≥0,bsinθ≥0,且asinθ=bcosθ.從右向左看,這個不等式其實就是三角函數的有界性問題,因此對任意a,b ∈R,總存在θ ∈R 使(2)中等號成立,不等式(2)的特點是將放縮為a,b的“一次式”,以此解決問題.

例1已知正數a,b滿足a+b=10,求√的最小值.

分析利用不等式(2)可將兩個根式都放縮為關于a,b的“一次式”,為了利用條件a+b=10,還需使a,b的系數相等.

解

由a,b為正數,且a,b的系數相等,可取即10 cosθ+5 sinθ,當且僅當asinθ=2 cosθ,bsinθ=3 cosθ,即3a=2b時等號成立,結合a+b=10,得a=4,b=6,此時得所以的最小值為

評注本題若用消元法,則有它表示點P(a,0)(0＜a＜10)到點A(0,?2)的距離與到B(10,3)的距離之和,這個和的最小值就是A,B兩點間的距離,直線AB與x軸的交點為(4,0),即a=4 時取最小值.

例2已知正實數x,y滿足3x+y=3,則的最小值為____.

分析由于條件等式為x,y的一次式,若將放縮為一次式,并且配合條件等式使其為定值,則可求出最小值.

解因為xcosθ+ysinθ,所以x+≥x(1+cosθ)+ysinθ,結合3x+y=3,可令1+cosθ=3 sinθ,取正數解可得當且僅當即時等號成立,的最小值為

評注記A(1,0),B(0,3),點P(x,y)為線段(不含端點)AB上任意一點,則目標函數的幾何意義為點P到y軸的距離|PH|與……