關(guān)于兩條動線段長度之比是定值問題的思考

云南省玉溪第一中學(xué)(653100) 李富春

兩條動線段長之比為定值問題是解析幾何中比較重要的問題,也是學(xué)生的難點(diǎn).究其原因是因為兩條動線段長之比為定值問題,在高考中常出現(xiàn)在解析幾何大題的第二問,放在這個位置對絕大多數(shù)學(xué)生產(chǎn)生了很強(qiáng)的心理影響.[1]其實(shí)解析幾何中兩條動線段長之比為定值問題,都是下面四種數(shù)學(xué)模型之一,只要靈活選用,解析幾何中兩條動線段長之比為定值問題就能迎刃而解.

1 數(shù)學(xué)模型

模型1設(shè)兩條動線段長之比為λ,轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算,通過代換求出λ值,問題得解.

模型2用動直線的斜率k分別表示兩條動線段長,通過轉(zhuǎn)化、化歸,約去變量k,問題得解.

模型3用圓錐曲線上的動點(diǎn)(x0,y0)的橫坐標(biāo)x0或縱坐標(biāo)y0分別表示兩條動線段長,通過轉(zhuǎn)化、化歸,約去變量x0或y0,問題得解.

模型4用動直線的斜率k和縱截距b或橫截距a分別表示兩條動線段長,通過轉(zhuǎn)化、化歸,約去變量k,b或a,問題得解.

2 模型運(yùn)用

2.1 模型1 運(yùn)用

若所求兩條動線段長之比中的兩條動線段的端點(diǎn)共線,則可選用模型1 求解.

例1(2015年高考山東卷理科第20 題)平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓的離心率為左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2.以F1為圓心以3 為半徑的圓與以F2為圓心以1 為半徑的圓相交,且交點(diǎn)在橢圓C上.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(ii)求?ABQ面積的最大值.[3]

解(Ⅰ)略.橢圓C的方程為

(Ⅱ)由(Ⅰ)知橢圓E的方程為

(ii)略.?ABQ面積的最大值為

2.2 模型2 運(yùn)用

若所求兩條動線段長之比中的兩條動線段所在的直線的斜率都可以用k來……