不同“元”視角下兩道最值問題的求解

安徽省濉溪縣第二中學(xué)(235100) 祝 峰

數(shù)學(xué)問題求解時(shí),常稱一些研究對(duì)象為“元”.方程、代數(shù)式、函數(shù)中,把具有固定結(jié)構(gòu)的可變對(duì)象視為一個(gè)“元”,如一元二次方程、二元代數(shù)式、多元函數(shù)即是基于這種認(rèn)識(shí)所賦予的稱謂.多元變量最值問題求解中,應(yīng)多視角認(rèn)識(shí)和構(gòu)造“元”,否則會(huì)影響問題求解的靈活性、速度和正答率.下文是不同“元”視角下兩道最值試題的靈活解答,旨在拓寬類似問題求解中“元”的認(rèn)識(shí)視角.

1.例題

例1已知:正數(shù)x,y滿足x+2y?xy=0,則x+2y的最小值為____.

例2在銳角三角形ABC中,若sinA=2 sinBsinC,則tanAtanBtanC的最小值為____.

2.“元”的相對(duì)視角

一般情況下,把一個(gè)獨(dú)立量視為一個(gè)“元”.如例1 中,視x,y分別是兩個(gè)元,則x+2y?xy=0 為二元二次方程、x+2y為二元一次代數(shù)式.但“元”不一定是一個(gè)獨(dú)立的量,結(jié)構(gòu)固定的代數(shù)式均可視為一個(gè)元.下面是更廣視角“元”的認(rèn)知下,兩道例題的求解方法.

2.1 例1 的兩種解法

解法一因?yàn)閤+2y?xy=0,所以x+2y=xy=即(x+2y)2≥8(x+2y),所以x+2y≥8 或x+2y≤0(舍),即(x+2y)min=8(當(dāng)且僅當(dāng)x=2y取到).

解法二x+2y?xy=0,有x+2y=xy,注意到所以x2y2≥8xy,即xy≥8 或xy≤0(舍).(x+2y)min=8(當(dāng)且僅當(dāng)x=2y取到).

評(píng)析方法一中,基于x+2y范圍的求解,視其為一個(gè)“元”,條件中xy是“多余”的,用基本不等式將等量關(guān)系消元為關(guān)于x+2y的一元二次不等式,求出其最小值;方法二中,由于x+2y=xy,若能求出xy的取值范圍,即為x+2y的范圍,所以視xy為一個(gè)“元”,則x+2y是“多余”的,需要消去.可以看到“元”是相對(duì)的,問題求解中,“元”不一定是一個(gè)獨(dú)立量,也不一定是某個(gè)確定代數(shù)式.不同的“元”視角下會(huì)有相應(yīng)的問題求解思路.

2.2 例2 的解答

三角形ABC中,若 sinA=2 sinBsinC,即sinBcosC+cosBsinC=2 sinBsinC.所以tanB+tanC=2 tanBtanC.由于在三角形中

成立,所以

即……