探析橢圓內(nèi)一類(lèi)特殊的完全四邊形中直線(xiàn)間斜率關(guān)系

首都師范大學(xué)附屬回龍觀育新學(xué)校(102208) 李路軍

斜率是解析幾何中刻畫(huà)直線(xiàn)的重要因素,在判斷直線(xiàn)間的關(guān)系時(shí)起到了不容忽視的作用.而圓錐曲線(xiàn)的考查中,常常又是與直線(xiàn)分不開(kāi)的,當(dāng)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)建立了聯(lián)系,而且有多條直線(xiàn)牽扯在一起時(shí),必然就有某種內(nèi)在的約束關(guān)系,那么它們的斜率間也就會(huì)有某種內(nèi)在聯(lián)系了.在近幾年高考、競(jìng)賽及各地的模擬習(xí)題中常常出現(xiàn)這個(gè)特殊完全四邊形中直線(xiàn)斜率間的關(guān)系的探索或證明或變式等問(wèn)題.

一、試題呈現(xiàn)

試題1(2019 鎮(zhèn)江市高三期末考試)已知橢圓C:的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,兩準(zhǔn)線(xiàn)間的距離為設(shè)A為橢圓C的左頂點(diǎn),直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)D(1,0),且與橢圓C相交于E,F兩點(diǎn).

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(ⅠⅠ)若?AEF的面積為求直線(xiàn)l的方程;

(ⅠⅠⅠ)如圖,已知直線(xiàn)AE,AF分別交直線(xiàn)x=3于點(diǎn)M,N,線(xiàn)段MN的中點(diǎn)為Q,設(shè)直線(xiàn)l與QD的斜率分別為k(0),k′,求證kk′為定值.

圖1

試題2(2018 全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽重慶預(yù)賽題)設(shè)橢圓C的左右頂點(diǎn)為A,B(a,0),過(guò)右焦點(diǎn)F(1,0)作非水平直線(xiàn)l與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn),記直線(xiàn)AP,BQ的斜率分別為k1,k2,試證:為定值,并求此定值(用a的函數(shù)表示).

二、試題模型

上述兩道題盡管所需證的問(wèn)題不同,但是它們是在同一個(gè)結(jié)構(gòu)下不同直線(xiàn)間斜率的問(wèn)題,有共同的特征.今天要與大家分享的就是這種類(lèi)型習(xí)題中直線(xiàn)間斜率間的運(yùn)算關(guān)系.現(xiàn)歸納概括為下面這道題:

題干如圖,已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為A、B,直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)D(m,0)(0＜m＜a),且與橢圓C相交于P,Q兩點(diǎn).連接PA,PB、QA,QB,直線(xiàn)AP,AQ分別交直線(xiàn)x=n(n＞a)于點(diǎn)M,N,線(xiàn)段MN的中點(diǎn)為G,連接DG.

圖2

研究的問(wèn)題六條……