以小見大 見微知著

江宏

摘 要：微元法是解決高中物理中非質點或非線性變化問題的一種重要方法。因為研究對象特點不同，學生在微元法的運用上普遍存在比較明顯的困難。本文將微元法歸納為動態過程類和靜態平衡類兩種情況，并針對微元法教學困境，提出一些具體建議。

關鍵詞：微元思想;高考;應用

高中物理中常見的物塊、小球、微粒通常都能被看作是質點加以分析，勻變速直線、平拋運動和圓周運動都是經典模型，這類對象的運動過程是學生較為熟悉并能夠較為準確分析和判斷的。而高考中以力學或者電磁感應問題為背景，常常對功、沖量、位移、速度變化量、電量等物理量進行探究，如2013年全國1卷中斜面上導體棒下滑的電磁感應模型，2016年全國卷1卷選修題中水柱托舉玩具小車模型。在運用初等數學知識解決涉及變力、流體、變加速直線運動或一般曲線運動時，學生往往是力不從心無從下手。對此，在高中階段引入了一種簡便可操作性強的數學方法——微元法來解決上述問題。微元法是一種從局部到整體的思維方法，它是一種重要的物理思想方法，可以檢驗學生是否具備運用數學方法來處理物理問題的能力。在一些復雜的物理過程和研究對象中，微元法能夠化繁為簡，將復雜問題轉化為我們熟悉的物理規律或者模型，并使之得以迅速地解決。在高中階段循序漸進地培養學生學習使用“微元法”思維，感受微分和積分的運用過程，有利于高考壓軸題的突破，也有利于學生進入高等學校后的進一步學習。

在使用微元法處理問題時，需將其分解為眾多個連續的局部或者是“元過程”或者“元對象”，而且每個“元過程”或“元對象”所遵循的規律是相同的，我們只需分析這些具有普遍性的“元過程”或“元對象”，然后再將這些代表性的“元過程”或者“元對象”進行一定的數學方法或物理思想歸納處理，進而得到對于整個過程或整個對象的結論。微元法會加強我們對已知概念和規律的再思考，對鞏固概念知識、加深對事物的理解，提高解決生活場景中復雜問題的能力起積極作用。

1 微元法的兩種類型

1.1 動態過程類

例1：一根質量為M，長度為L的鐵鏈條，被豎直地懸掛起來，其最低端剛好與水平接觸，今將鏈條由靜止釋放，讓它落到地面上，如圖1所示，求鏈條下落了長度x時，鏈條對地面的壓力為多大？

分析：鏈條對地面的壓力來自已經躺在地面的那部分鏈條的壓力和正在與地面撞擊的鏈條產生的沖擊力，選擇某一時刻與地面接觸的鏈條其質量微元為Δm，對這部分質量的動量變化進行分析，就能夠順利解決沖擊力的問題。

動態類常見問題還有非勻變速直線運動的位移問題、水柱沖擊煤層情景、2016年全國一卷中噴泉水柱托舉玩具小車情景、自動秤米計量情景、雨滴落到樹葉葉片上情景等流體模型，以及2013年全國一卷中斜面上導體棒電磁感應的非恒定電流模型。這類問題中還有一些小的區別在于t時間內已經落在地面上的鏈條對地面有持續壓力，運動的位移和秤米計重也是一種積累物理量;而水柱沖擊煤層、噴泉托舉小車、雨滴滴落樹葉情景中只考慮接觸部分微元產生的力作用，導體棒上電磁感應模型只考慮棒上一小段時間內可視為恒定電流，其在導體棒上通過的電量對應這一小段時間內電容器上電量變化和電壓變化。

1.2 靜態平衡類

例2：如圖2所示，一個半徑為R的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均勻鐵鏈，其A端固定在球面的頂點，B端恰與桌面不接觸，鐵鏈單位長度的質量為ρ。試求鐵鏈A端受的拉力T。

分析：選取AB之間某一位置的一小段鏈條Δm為研究對象，分析上下鏈條對其拉力與其所受到的重力與球面支持力的平衡方程，就可以得到上方鏈條總比下方鏈條的拉力大一個ΔT，A端的拉力就是鏈條各部分ΔT的總和。

靜態平衡類微元法中代表性問題是非質點類質量連續可變或非點電荷但電荷連續可變模型。涉及圍繞圓臺側壁上的彈性繩子中某一點的拉力計算和均勻帶電圓環在其中心軸線上某點處電場強度計算等靜止狀態問題分析（2010年福建省高考第18題）。這類問題中的對象與學生熟悉的輕繩、可視為質點的物塊不同，由于不能準確找到微元切入點，普遍反映無從下手。另外，微元的受力分析還需要有較強的空間想象能力，也必然給學生造成不小的障礙。

2 微元法運用之困和應對策略

學生在微元法的運用上普遍存在比較明顯的困難，原因可以歸納為以下幾個方面：一是微元法分析的時機選擇。高中階段處理變力做功和變力的沖量通常是用動能定理和動量定理來分析，但該過程的初末速度不明確時，無法從動能變化和動量變化反推變力功和變力沖量，就該考慮運用微元法分析過程。二是微元選取和構建模型困難，學生們面對連續的空氣、水柱等流體對象很難建立有具體形狀的“元對象”和“元過程”，如何化無形為有形是關鍵，將流動對象“固定”并轉化為熟悉的物塊或小球。三是教師注重公式和定理定律教學，忽視物理思想方法的重要性。學生運用微元法機會普遍較少，也缺乏系統性專題學習和練習鞏固。很多教師不愿意在這種物理思想和數學方法上花費時間和精力，學生停留在知曉微元思想，處在學過也聽得懂，但不會用的尷尬局面。四是微元運算中有一些數學上的近似計算技巧，學生因為數學基本功不夠扎實，所以在推導和演算環節上磕磕絆絆，進而產生畏難情緒。

高考是選拔性考試，試題命制背景新穎，思維靈活，更加注重物理思想方法和對物理概念的理解。微元法是高中物理和大學物理研究問題方式的一種轉變，在高考試題中，微元法能否熟練運用常常是鑒別優秀學生的一塊“試金石”。針對以上原因，筆者提供以下建議以供借鑒：

一是注重新課教學中微元法的滲透式教學，要積極創設條件讓學生主動接觸微元法。可以從瞬時速度的定義和通過圖像法推導勻變速直線運動的位移等教學活動中注重感受微元思維方法特征;從F-X圖像中分析彈簧彈力做功，讓學生感受微元法研究過程的優點;從自主推導電流的微觀定義表達式和安培力推導洛倫茲力表達式，真切體會微元法的應用，實現技能的提升。根據學生認知的順序，先后通過實驗、理論、實踐、運用等方式，讓學生體驗研究對象和研究過程可以“分割”、“切片”、“累加”的微元思維，促進學生核心素養發展，實現學生綜合分析能力的有效提升。在高一初始學習過程中要讓學生有感性認識，從熟悉的案例中類比遷移，側重微元思想的理解，淡化數學運算技巧的展現。高二階段要側重微元思想方法領悟，注重微元思維訓練，感受變力與恒力、直線與曲線的辯證統一思想。高三階段注重微元法在具體案例運用，有效提高學生解決實際問題能力。

二是注重教學過程中的畫圖環節，做到教師主動畫學生自覺畫，在圖畫中定格時間明確“元過程”和“元對象”，通過圖畫明確直觀易懂的研究過程和研究對象，把連續變化的抽象對象轉化為有具體大小、形狀、體積、質量的“物塊”。高中物理首先是畫出來的，畫不好過程找不到研究對象就不可能解決好復雜問題。通過教師言傳身教，做到老師常畫圖，學生敢畫圖，明確“元過程”或“元對象”，大膽用好微元法解決壓軸題。

三是要細心審題，注意提煉信息構建物理模型，觀察物理量之間的關聯性，在動態過程類問題中從時間和空間兩個維度上做好過程分析，從已知物理量和待求物理量間找到有普遍性的微過程，在靜態平衡類問題中找準微對象進行受力分析，聚沙成塔，見微知著實現局部到整體的轉變。

四是區分高考和競賽的不同要求，不宜將競賽類型的試題引入高考復習備考中來。高考中對微元法的考察是側重于對微元思想的理解和簡單運用，切不可按照物理競賽中的能力要求進行微元教學。過度對微元的數學極限計算，一方面給學生增加不必要的學習負擔，另一方面也會讓教學誤入歧途，事倍功半。

微元法是物理高考中的難點，是選拔優秀學生的“試金石”，建議教師們在教學過程中營造氛圍，注意微元思想在日常教學活動中的滲透和進階訓練，配合畫圖和圖像分析并有效控制好難度，必定能夠幫助更多學生掌握微元法，讓他們在高考選拔中脫穎而出。