初中數學例題功能的再挖掘與探究

陳斌

摘 要：以《義務教育數學課程標準》為依據，對浙教版初中數學的例題、習題的傳統功能進行再挖掘與探究。結合教學實踐中具體的案例，運用教材例題再挖掘的策略，從例題示范功能的再挖掘、方法與思維啟迪的再挖掘和育人功能的再挖掘等方面尋求例題的深入剖析，以發揮其潛能。

關鍵詞：初中數學;教材例題;再挖掘

教材例題是經過教育專家隊伍對教學內容的系統研究、反復挖掘、系統探究的基礎上設置的。教師是教學活動的實施者、引導者和促進者角色，教師要根據教材的特點和教材例題的設置，從學生的實際出發，從學生的興趣出發。結合學生的興趣和教材的特點，創設能有效地調動學生的學習參與，促進學生的主動感知和體驗的學習情境，讓學生在情境體驗的驅動下，展開對例題情境的充分體驗和感知，在對例題的充分觀察、深入思考、深刻挖掘的過程中，實現對知識點和系統等的科學理解和把握。

一、教材例題的傳統功能探究

（一）例題的原有功能

1.示范功能

例題的作用在于示范，這個示范既是教師知識的落實，也是學生解決問題策略的范例，是數學教學活動有效開展的載體，是某課堂核心知識內容的集中體現。結合新課程標準，初中數學的例題示范功能主要是理解和運用新知，鞏固概念、定理，解決問題的示范;幫助學生掌握解決這類問題的基本流程，模仿解題，達到解題格式的示范作用。

2.方法指導和思維的啟迪

數學例題的功能在于方法的指導和思維的啟迪。在教學中，我們要充分理解教材，理解例題設置的目的，有深度地學習。在解決“例題”的過程中，教師要根據知識要點來設置引導問題，通過觀察、類比、猜想、歸納等活動，引導學生形成解決問題的方法和策略。

3.育人功能的有效滲透

情感和價值觀是浙教版數學教材的一個重要目標維度，因此，如何通過例題的教學來挖掘育人的功能是其一項重要任務。在教學中，例題教學體現出來的思維能力有助于學生理性思維能力的培養，統籌解決問題;例題解決時的類比思想、分類討論、數形結合等數學思想的歸納，有助于學生辯證唯物主義思想的滲透與形成;例題講解時充分挖掘數學的背景知識、發展由來，可以培養學生的愛國情懷。

（二）教材原有例題的功能尚有待挖掘

1.教材中的例題示范功能的拓展還有待加強

在數學課堂教學中，在充分理解教材的基礎上明確例題設置的目的，理解數學、理解學生，將數學核心思想有效落實。我們要培養學生的逆向思維能力，舉一反三，有效地掌握知識。

2.在方法和思維啟迪上的功能有待挖掘

特別是通過一類例題的解決，讓學生解題從“知其然”到“知其所以然”再到“何有知其所以然”。幾何例題怎么教、怎么解，代數問題怎么教、怎么解。

3.例題教學的育人價值有待挖掘

在教學過程中，我們只注重問題的背景研究，而忽略了我們的探究精神。

二、教材例題功能再挖掘的策略

數學知識既不是教出來的，也不是學出來的，而是研究出來的。數學活動是經驗積累和反思的過程。我們可以從例題與習題的條件和結論、題目背景、題目的解決問題的方法、核心素養落實的手段等方面進行再挖掘。

策略一：情境創設生活化

在教學中，我們的例題設置應建立在學生已有的生活經驗之上，通過教學活動，讓學生體會數學在生活中的價值，從而激發學生學習數學的興趣。我們可以根據學生的認知規律，將具體問題抽象成數學問題，利用所學的知識去解決問題，以達成教學目標。

策略二：解題思路多元化

我們在教學中，最后的教學目標是讓學生知道“知其所以然”。通過類比教學，多角度分析思路，對解題一般方法、思維技巧進行再探究。在實際的教學中，學生因為認知規律的束縛，導致一些問題只能按部就班去解決，沒有真正做到一題多解，最終指向多題一解路徑。

策略三：自我編題促成長

在教師講解例題后，學生學習的過程中，結合自我的認知，完成相應的例題和習題的反思，在這一過程中，學生往往根據自己的經驗、知識解決時的方法等，設計出相應的題目。這樣學生就可以舉一反三，提高學習的效率。

三、教材例題功能的再挖掘

1.示范功能的再挖掘

教材例題的示范功能不僅是解題格式的示范，更重要的是解題方法與思維的示范，通過一個題的示范掌握一類題的解法。

【案例】已知：如下圖，在Rt△CAB和Rt△ECD中，點D在邊BC的延長線上，且∠ACE=∠B=∠D=90°。求證：△CAB∽△ECD。

在△ABC和△CDE中

解析：∠B=∠D=90°∠ACB=∠CED（同角的余角相等）

∴△CAB∽△ECD

學生在解題過程中，教師在板書示范的過程中可以概括出一般特征“一線三等角”問題。從相似三角形的判定“兩角對應相等的兩個三角形相似”這一判定入手，進行思維的示范。改變條件，將直角變成一般角度時該如何解決問題。

如下圖，在△ABC和△CDE中，點D在邊BC的延長線上，∠ACE=∠B=∠D，則△ABC∽△CDE。

在△ABC和△CDE中

解析：∠B=∠D∠ACB=∠CED（三角形的內角和為180°）

∴△ABC∽△CDE

這樣的教學，從特殊到一般，理解問題的本質，幫助學生從“知其然”到“知其所以然”和“何以知其所以然”的跨越，從知識的鞏固、解題格式的示范、方法的歸納等方面進行了示范，有效建立了解決幾何問題的套路，即幾何教類比。

2.解題方法與思維的啟迪拓展再挖掘

【案例】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，分別以a，b，c三邊為邊做正方形，求證：S2+S3=S1。

解析：證明：∵S2=b2，S3=a2，S1=c2

根據勾股定理：a2+b2=c2

∴S2+S3=S1

變式2：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，分別以a，b，c三邊為邊做正三角形，那么有S2+S3=S1

在這一例題的講解中，教師從勾股定理入手，進行解題方法與思維啟迪的再挖掘。一是讓學生從直角三角形入手，向外構造圖形，探索同一圖形為背景下圖形之間的關系，二是改變圖形背景，探索不同背景下圖形之間面積的關系。從不同的層面讓學生經歷體驗，讓學生感受圖形的變化，而圖形變化的本質是勾股定理。特別值得一提的是在學習共同體下，學生相互的交流溝通，有效促進了問題的解決，歸納出在復雜圖形下如何探究，為學生自我體驗和學習共同體下的合作體驗提供范式。

教師在教學中，根據例題解決問題思維的啟迪，幫助學生自我設計題目。學生根據實際設計了如下題目：

類型1：改變向外拓圖形，解決問題的思維不變

已知：如下圖，直角三角形的兩直角邊為a，b，斜邊為c，分別以a，b，c為直徑做半圓（等邊三角形、等腰直角三角形等），求證：S2+S3=S1

【變式】公元前約400年，古希臘的希波克拉底研究了他自己畫的圖形，得出一個歷史性的數學結論。你能說出這個結論并說明理由嗎？

類型2：探索同一圖形為背景下的圖形之間的關系。

如下圖，是一些由正方形和直角三角形拼合成的圖形，其中最大的正方形的邊長為7cm，你能求出正方形A、B、C、D的面積之和嗎？請試一試。

特別值得肯定的是，一些學生在理解知識本質的基礎上，通過幾何畫板設計了美麗的幾何圖形，感受數學之美，激發了學習興趣。

我們在學習過程中，可以利用各種學習工具，通過“實踐—分享—展示—評價—整合”五個循環式的學習環節，讓學生在理解例題的方法和思維的基礎上，自我設計題目，從而對例題進行深入的再挖掘。教師在這樣的課堂上要有豐富有趣的活動形式，激發學生更靈活有效的學習方式，不斷優化學習內容，發展思維，發揮潛能，同時要及時進行總結評價，對學生給予積極正面的評價，讓學生感受成果的同時體驗到自己的價值。最后，學生根據自己的經驗體會，暢所欲言自己的切身感受與實際收獲，從勾股定理到圖形面積關系的拓展練習中感受學習數學的魅力，體會古代數學的文化成就。

3.育人功能的再挖掘

【案例】1：也是一個很有趣的比，已知線段AB（如下圖），用直尺和圓規作AB上的一點P，使AP ∶ AB=1∶。

在講解之后，我們要充分挖掘例題的育人價值。數學題目的育人價值在于自我探究精神的挖掘。我布置了兩個實踐作業：通過查找互聯網、文獻等方式去查找有趣的比，寫一篇科學小論文，并分享交流。

在這個過程中，學生通過小組合作，去查詢數學中的知識，并了解這些有趣的比有什么作用。在這一過程不僅讓學生感受數學的博大精深，也培養了科學的探究精神。在合作中發現問題，在交流中解決問題，在分享中感受數學樂趣，真正培養孩子們學習數學的興趣。

四、小結

荷蘭數學家弗賴登塔爾說，數學教學方法的核心是學生通過課堂經驗，對已有的數學問題進行“再創造”的過程。教師在教學過程中，要立足課本例題，從學生的認知水平、思維角度充分挖掘例題的功能，以期發揮例題功能的最大優勢。

1.例題功能在于挖掘，使數學教學活動更加有效，從而促進核心素養落地

在教學中，我們對例題解決問題方法的示范，從類比的角度多題歸一解，從例題方法與思維的啟迪中培養學生的探究精神，從例題的育人功能中激發學生研究數學的精神。這樣的過程，讓學生對數學有了深入的理解，激發學生的學習興趣。

2.例題功能的再挖掘，需要教師具有更高的素質

我們在教學中，教師要充分去研究教材、比較教材，結合課程標準，有效去挖掘例題最終指向。同時也要學習一些先進的前沿知識，在教學中滲透人文素養，探究方式與方法，讓數學課堂“活”起來。

參考文獻：

[1]鄭昌喜，劉慶萌.充分挖掘典型例題的教學功能[J].初中數學教與學，2019（8）.

[2]阮波江.有效利用課堂例題、習題教學提升學生數學解題能力[J].數學學習與研究，2018（5）.

編輯 魯翠紅